Questo appunto di matematica tratta la definizione e le caratteristiche della scomposizione in fattori primi di un certo numero. Dopo aver illustrato la definizione e il metodo, verranno forniti diversi esempi numerici di scomposizioni per potere meglio comprendere l'efficacia di questo strumento.
Indice
Definizione di scomposizione in fattori primi
La scomposizione in fattori primi di un numero, detta anche fattorizzazione in numeri primi di un numero, è un'operazione matematica tramite la quale si riescono ad identificare quei numeri primi che moltiplicati tra di loro ci danno il numero di partenza.
In altre parole, la scomposizione in fattori primi è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Una caratteristica molto importante da tenere in mente è che la scomposizione in fattori primi è unica, ovvero esiste un solo modo per scomporre un numero in numeri primi, la combinazione di fattori che danno come risultato quel numero è unica.
Sebbene possano essere dei procedimenti molto dispendiosi in termini di tempo, soprattutto se si ha a che fare con numeri molto grandi, queste scomposizioni, in realtà, sono molto utili ed efficaci. Infatti, in algebra il metodo della fattorizzazione in numeri primi di un numero viene spesso adoperato, soprattutto per individuare i divisori di un numero senza effettuare la divisione, calcolare il minimo comune multiplo (mcm) o il massimo comune divisore (MCD), semplificare una frazione e ridurla ai minimi termini.
Numeri primi e criteri di divisibilità
Prima di procedere alla spiegazione di come eseguire la scomposizione in numeri primi è opportuno porre l'attenzione sul concetto di numero primo e sui vari criteri di divisibilità.
Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che può essere diviso solamente per 1 o per se stesso. I primi dieci numeri naturali sono
,
,
,
,
,
,
,
,
e
.
Riferendoci ai numeri primi più ricorrenti, ovvero
,
,
,
,
, e
, possiamo enunciare i seguenti criteri di divisibilità:
- Un numero è divisibile per [math]2[/math]quando l’ultima sua cifra è pari, ovvero[math]0[/math],[math]2[/math],[math]4[/math],[math]6[/math],[math]8[/math].
- Un numero è divisibile per [math]3[/math]quando la somma delle cifre che lo compongono è un multiplo di[math]3[/math].
- Un numero è divisibile per [math]5[/math]quando l’ultima sua cifra è[math]0[/math]o[math]5[/math].
- Un numero è divisibile per [math]11[/math]quando la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è[math]0[/math]o un multiplo di[math]11[/math].
Procedimento di scomposizione
Tra gli strumenti necessari per potere scomporre qualsiasi numero in fattori primi, vi è un elenco dei numeri primi. Una volta che abbiamo davanti l'elenco dei numeri primi e anche il numero che vogliamo scomporre, basta tentare ad uno ad uno e quindi capire se quel numero può dividersi per quel numero primo oppure no.
Ovviamente, questo procedimento richiederebbe un tempo infinito, per cui, in aiuto ci vengono i criteri di divisibilità, i quali permettono di sapere subito se un numero è divisibile per un certo numero primo oppure no.
Per eseguire la scomposizione in fattori primi si può procedere in vari modi. Solitamente, si esegue la scomposizione in colonna.
In generale, si divide il numero considerato per il suo più piccolo divisore primo, dopodiché si divide il quoziente ottenuto per il suo più piccolo divisore primo e così via procedendo fino a quando non si ottiene come quoziente il numero
. Nel caso della scomposizione a colonna, il numero di partenza e i successivi quozienti staranno nella colonna di sinistra, mentre a destra vi saranno i vari divisori.
Nel prossimo paragrafo illustreremo degli esempi numerici sulla scomposizione in fattori primi.
Esempi numerici svolti
Scomposizione in fattori primi del numero:
60&2\\
30&2\\
15&3\\
5&5\\
1\\
\end{array}
[/math]
Il il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso, ovvero
Pertanto, possiamo scrivere il numero di partenza
come prodotto dei fattori primi ottenuti:
Raggruppiamo i fattori uguali sottoforma di potenze
, ovvero
Scomposizione in fattori primi del numero
356&2\\
178&2\\
89&89\\
1\\
\end{array}
[/math]
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso, ovvero
Pertanto, possiamo scrivere il numero di partenza
come prodotto dei fattori primi ottenuti:
Scomposizione in fattori primi del numero
1350&2\\
675&3\\
225&3\\
75&3\\
25&5\\
5&5\\
1\\
\end{array}
[/math]
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
Il più piccolo divisore primo di
è
, quindi eseguo la divisione
è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso, ovvero
Pertanto, possiamo scrivere il numero di partenza
come prodotto dei fattori primi ottenuti:
Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione in fattori primi, vedi qui.
Per ulteriori approfondimenti sui criteri di divisibilità, vedi qui.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
