Equazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado (i coefficienti si intendono reali) può presentarsi sotto tre forme: pura, spuria, completa. In tutti e tre i casi il coefficiente di grado massimo, indicato con a , deve essere diverso da zero. Le soluzioni dell'equazione

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Un'equazione di secondo grado (i coefficienti si intendono reali) può presentarsi sotto tre forme: pura, spuria, completa. In tutti e tre i casi il coefficiente di grado massimo, indicato con

[math]a[/math]
, deve essere diverso da zero. Le soluzioni dell'equazione si chiamano radici.

Equazione pura: un'equazione pura di secondo grado è della forma

[math]a x^2 + c = 0[/math]
.

1° caso: se

[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono concordi l'equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono
[math]x_1 = - i \sqrt{\frac{c}{a}}[/math]
,
[math]x_2 = i \sqrt{\frac{c}{a}}[/math]

Es:

[math]x^2+4=0\\Rightarrow x_{1,2}=\\pm2i[/math]

2° caso: se

[math]c = 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni coincidenti, entrambre nulle,
[math]x_1 = x_2 = 0[/math]

3° caso: se

[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono discordi l'equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono
[math]x_1 = - \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]
e
[math]x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]

Es:

[math]4x^2-9=0\\Rightarrow x^2=9/4\\Rightarrow x_{1,2}=\\pm 3/2[/math]

Equazione spuria: un'equazione spuria di secondo grado è della forma

[math]a x^2 + bx = 0[/math]
.

Raccogliendo

[math]x[/math]
l'equazione si scrive come
[math]x (ax + b) = 0[/math]
, e da qui si nota che le due soluzioni (reali) sono
[math]x_1 = 0[/math]
e
[math]x_2 = - \frac{b}{a}[/math]
.

Es:

[math]3x^2-5x=0\\Rightarrow x(3x-5)=0\\Rightarrow x_1=0;x=5/3[/math]

Equazione completa: un'equazione completa di secondo grado si scrive come

[math]a x^2 + bx + c = 0[/math]
. La formula risolutiva è

[math]x_{1,2} = \frac{- b \\pm \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}[/math]

Per la risoluzione è possibile utilizzare anche la formula ridotta, equivalente alla precedente:

[math]x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2} \\pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - ac}}{a}[/math]

La quantità 

[math]\Delta = b^2 - 4 ac[/math]
si chiama discriminante, e a seconda del segno che assume si distinguono tre casi.

1° caso: se

[math]\Delta > 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni reali distinte, che valgono
[math]x_1 = \frac{- b - \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a}[/math]
e
[math]x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}[/math]

2° caso: se

[math]\Delta = 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti, che valgono
[math]x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}[/math]

3° caso: se

[math]\Delta > 0[/math]
l'equazione ha due soluzioni complesse coniugate, che valgono
[math]x_1 = \frac{-b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2a}[/math]
e
[math]x_2 = \frac{-b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2a}[/math]

Relazioni fra i coefficienti di un'equazione e le radici

Data un'equazione di secondo grado

[math]a x^2 + b x + c = 0[/math]
, che ha come soluzioni
[math]x_1[/math]
e
[math]x_2[/math]
, fra le radici e i coefficienti
[math]a, b, c[/math]
sussistono le seguenti relazioni:

Somma delle radici:

[math]x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}[/math]

Differenza delle radici:

[math]x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}[/math]

Prodotto delle radici:

[math]x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/math]

Somma dei reciproci delle radici:

[math]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = - \frac{b}{c}[/math]

Somma dei quadati delle radici:

[math]x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 - 2 ac}{a^2}[/math]

Somma dei reciproci dei quadrati delle radici:

[math]\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{b^2 - 2 a c}{c^2}[/math]

Somma dei cubi delle radici:

[math]x_1^3 + x_2^3 = \frac{3abc - b^3}{a^3}[/math]

Somma dei reciproci dei cubi delle radici:

[math]\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{3 a b c - b^3}{c^3}[/math]

Da queste relazioni discendono le seguenti proprietà :

- Le radici sono opposte se e solo se

[math]b=0[/math]

- Le radici sono reciproche se e solo se

[math]a = c[/math]

- Le radici sono antireciproche se e solo se

[math]a = -c[/math]

- Una radice è zero se e solo se

[math]c = 0[/math]

- Se

[math]\Delta > 0[/math]
, allora le radici sono concordi se e solo se
[math]\frac{c}{a} > 0[/math]
, e sono discordi se e solo se
[math]\frac{c}{a} > 0[/math]

- Una radice è

[math]n[/math]
volte l'altra se e solo se
[math][\frac{-b}{(n+1) a}]^2 = \frac{c}{an}[/math]

Scomposizione di un trinomio di secondo grado

Scomposizione di un trinomio di secondo grado

Dato un trinomio

[math]a x^2 + bx + c[/math]
, e dette
[math]x_1, x_2[/math]
le soluzioni dell'equazione
[math]a x^2 + bx + c = 0[/math]
, risulta

[math]a x^2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2)[/math]

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