Moto parabolico - problema e risoluzione

In questo appunto viene risolto un problema sul moto parabolico in cui viene richiesto di calcolare le componenti della velocità verticale, orizzontale e della gittata.
Per comprendere meglio la risoluzione del problema è prima utile ripassare brevemente il moto parabolico.

Il moto parabolico: descrizione e formule

Il moto parabolico è formato dalla composizione di due moti nel piano, tale moto è generato dal lancio di un oggetto con velocità () che forma un certo angolo (α) rispetto all’orizzontale.
In questo caso è utile considerare un sistema di riferimento avente un asse parallelo al terreno e un secondo asse perpendicolare al terreno.
Tale velocità può essere scomposta in due componenti: una parallela al piano che può essere trovata utilizzando la funzione coseno e l’altra componente che può essere trovata utilizzando la funzione seno .
Il moto lungo la direzione orizzontale risente solo della componente orizzontale della velocità e non è influenzato da nessun altro contributo perciò tale moto è rettilineo uniforme; la legge oraria di tale moto è:

Il moto lungo la direzione verticale risente della componente verticale della velocità e dell’accelerazione di gravità che ha direzione verticale ed è diretta verso il basso, il moto lungo tale direzione è quindi uniformemente accelerato; la legge oraria di tale moto è:

La composizione di tali due moti nel piano origina un moto parabolico, tale moto prende questo nome in quanto la traiettoria che segue l’oggetto è una parabola.

La traiettoria è una funzione che mette in relazione la posizione lungo y in funzione della posizione lungo x, per trovare l’equazione che descrive la traiettoria è necessario esplicitare il tempo nella prima equazione (equazione del moto rettilineo uniforme lungo x) e sostituire tale espressione nella seconda equazione (equazione del moto rettilineo uniformemente accelerato lungo y).
Facendo ciò si ottiene la seguente equazione:

Dove y e x sono le posizioni dell’oggetto rispettivamente lungo lasse x e y, g è l’accelerazione di gravità pari a

.

Da tale relazione si può notare come y dipende da

e questa dipendenza è proprio la caratteristica che permette di affermare che la traiettoria è una parabola.
Noto x è possibile trovare la posizione in y che corrisponde alla posizione x considerata, se si esegue questo per tutte le posizioni in x è possibile ricostruire e tracciare la traiettoria dell’oggetto.

Nel moto parabolico è possibile individuare anche altre grandezze importanti come la gittata e la massima altezza che raggiunge l’oggetto.

La gittata si definisce come la distanza in x del punto nel quale l’oggetto tocca terra; tale punto può essere individuato imponendo y=0 nell’equazione che descrive la traiettoria, tale condizione individua proprio il punto in cui l’oggetto tocca terra.
Imponendo questa condizione e risolvendo per x si trovano due valori dell’incognita che soddisfano tale equazione: un punto corrisponde al valore della gittata mentre l’altro punto corrisponde a x=0 (punto che corrisponde all’istante in cui viene lanciato l’oggetto, ricordiamo che l’origine del sistema di riferimento considerato corrisponde proprio al punto e all’istante in cui l’oggetto viene lanciato.

L’equazione esprime la gittata è:

Un’altra grandezza che può essere utile nello studio del moto parabolico è l’altezza massima che il corpo raggiunge, tale altezza può essere trovata considerando che il punto di massima altezza corrisponde al vertice della parabola, in alternativa è possibile trovare tale punto considerando che è il punto in cui l’oggetto è caratterizzato da una velocità lungo y nulla.
Risolvendo il problema in tali condizioni è possibile ritrovare la seguente formula che permette di trovare l’altezza massima del corpo:

Per ulteriori approfondimenti sul moto parabolico con angolo di lancio nullo vedi anche qua

Problema e risoluzione

Un tennista lancia una pallina con un angolo di rispetto al terreno e velocità iniziale di intensità . Calcola:

• Le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale;
• La gittata.

Svolgimento
La situazione può essere rappresentata in questo modo:

Dato che l’angolo tra la velocità e le sue componenti è di 45° e dato che tale situazione può essere paragonata ad un quadrato nei quali le componenti della velocità costituiscono i lati mentre la velocità, dato che è disposta a 45° rispetto ai lati, corrisponde alla diagonale del quadrato.
Sapendo che in un quadrato il lato è dato dividendo la diagonale per

, possiamo trovare la velocità orizzontale e verticale:

Tale parte del problema può essere risolta con un altro metodo se non si riconosce che la situazione può essere paragonata a un quadrato.
In generale le componenti di un vettore possono essere trovate utilizzando le funzioni goniometriche seno e coseno; in particolare dato che l’angolo fornito è rispetto al terreno quindi si ha che la componente orizzontale della velocità può essere trovata utilizzando il coseno mentre la componente verticale può essere trovata utilizzando la funzione seno:

Considerando che la velocità iniziale è obliqua, e che quindi la traiettoria seguita dalla pallina è una parabola, possiamo utilizzare la seguente formula:

Sostituiamo i valori numerici:

La parabola che abbiamo ottenuto è la seguente:

Dovendo trovare le componenti orizzontali e verticali della velocità iniziale, dobbiamo determinare le intersezioni della parabola con l’asse

:

Risolviamo l’equazione mettendo in evidenza

:

Determiniamo le soluzioni con la legge dell’annullamento del prodotto:

Per ulteriori approfondimenti sulla parabola e la sua equazione vedi anche qua