Calcolo della misura della diagonale di un pentagono regolare

In questo appunto di trigonometria è proposto lo svolgimento di un problema sul pentagono regolare. Vedremo come mettere in relazione la misura della sua diagonale a quella del lato. Utilizzeremo a tale scopo il teorema delle proiezioni. Prima dell’applicazione numerica proponiamo un ripasso sulle proprietà dei poligoni regolari.

Richiami sui poligoni regolari

Una figura piana che presenta una regolarità di alcuni dei suoi elementi come il rombo, il quadrato, il triangolo equilatero, si può sovrapporre a se stessa in modi diversi.

Un trapezio scaleno con tutti i lati e gli angoli diversi tra loro si può sovrapporre a se stesso solo in un modo.
Un parallelogramma che ha due coppie di lati e di angoli congruenti si può sovrapporre a se stesso in due posizioni.
Il rombo, che ha quattro lati congruenti e due coppie di angoli congruenti si può sovrapporre se stesso in quattro diverse posizioni. Tra i quadrilateri il poligono che ha un maggior numero di elementi congruenti è il quadrato, che presenta quattro lati e quattro angoli congruenti. La congruenza dei lati non è però una condizione sufficiente per individuare un poligono regolare. Il rombo, infatti, pur avendo tutti i lati congruenti, non è regolare perché i suoi angoli non sono tutti congruenti ma lo sono a coppie.
All’aumentare del numero dei lati il nome delle figure piane ha come prefisso un termine che indica proprio tale numero:

• penta: 5 lati
• esa: 6 lati
• etta o epta: 7 lati
• otta: 8 lati
• e così via...

Il pentagono è un poligono formato da cinque lati e da cinque angoli. Quando i lati sono tutti congruenti e anche gli angoli il pentagono è detto quindi regolare.

Per ulteriori approfondimenti sui poligoni regolari vedi qua

Diagonali del pentagono

Un poligono si può suddividere in triangoli tracciando le diagonali uscenti da un vertice. Ricordiamo che in geometria la diagonale di un poligono è il segmento che congiunge due vertici non consecutivi pertanto da ogni vertice del pentagono possono partire due diagonali che lo suddividono in tre triangoli.
In generale vale la seguente affermazione:
Il numero dei triangoli individuati da una diagonale è uguale al numero di lati del poligono diminuito di due. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, la somma degli angoli interni di un qualunque poligono è uguale a 180° moltiplicato per il numero di lati diminuito di due. Nel pentagono avremo perciò da moltiplicare 180° per 3 e la somma dei suoi cinque angoli interni è pari a 540°. Se è un pentagono regolare ciascuno di essi misura 108°, sono tutti angoli ottusi e le 5 le diagonali ovviamente sono tutte congruenti tra loro.

Pentagono regolare, come somma di poligoni

In un pentagono regolare se tracciamo una diagonale, esso resta suddiviso in due figure: un triangolo isoscele è un trapezio isoscele. In figura il segmento AD è una diagonale uscente dal vertice A, ADE è il triangolo isoscele sulla base AD, il quadrilatero di vertici ABCD è il trapezio isoscele con base maggiore AD sempre sulla diagonale.

Nel triangolo isoscele l’angolo al vertice misura 108° mentre i due angoli adiacenti alla base, coincidente con la diagonale, misurano ciascuno 36°.
Il trapezio isoscele ha per base maggiore la diagonale, per base minore un lato del pentagono, e anche i lati obliqui sono congruenti al lato del pentagono. Gli angoli adiacenti alla diagonale misurano entrambi 72° mentre gli angoli adiacenti alla base minore sono entrambi di 108°.
Tracciando dallo stesso vertice la seconda diagonale AC, il pentagono viene suddiviso in tre triangoli che sono tutti isosceli.

In particolare i triangoli ADE e AEC, naturalmente congruenti, hanno come base rispettivamente le diagonali AD e AC, e per lati congruenti due lati del pentagono; il triangolo isoscele centrale ACD, ha invece come lati congruenti le due diagonali AD e AC e come base un lato del pentagono CD. In questo triangolo l’angolo al vertice misura 36° mentre i due angoli alla base sono ciascuno di 72°.

Per ulteriori approfondimenti sul trapezio vedi anche qua

Teorema delle proiezioni

Con la trigonometria possiamo studiare le relazioni tra le misure dei lati e le funzioni seno e coseno. e anche tangente di un triangolo qualsiasi. In questa sezione della matematica i problemi tipici sono la risoluzione dei triangoli, ovvero a partire dalla conoscenza di soli due elementi del triangolo, si possono determinare tutti gli altri elementi. Oltre ai teoremi validi esclusivamente per il triangolo rettangolo, ci sono il teorema dei seni, e il teorema del coseno o teorema di Carnot che permettono Di risolvere un triangolo qualsiasi proprio come consente di fare il teorema delle proiezioni che useremo per la nostra applicazione numerica al pentagono.
Il teorema afferma che: In un triangolo qualsiasi ogni lato è somma dei prodotti tra ciascuno degli altri due lati per il coseno dell’angolo che essi formano con il primo lato.

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione dei triangoli vedi anche qua

Diagonale di un pentagono regolare in funzione del lato

Come abbiamo visto sopra, tracciando una diagonale da un vertice qualsiasi il pentagono regolare resta suddiviso in un triangolo isoscele e un trapezio sempre isoscele.
Consideriamo il triangolo isoscele ADE, sulla base AD.
In questo triangolo abbiamo visto che l’angolo nel vertice E misura 108° mentre i due angoli adiacenti alla base AD sono entrambi di 36°.
Nel triangolo isoscele l’altezza EH relativa alla base AD, è anche mediana perciò il piede della perpendicolare coincide con il punto medio M del segmento AD.
Per esprimere la misura della diagonale in funzione di quella del lato del pentagono usiamo, come detto, il teorema delle proiezioni.

Detta

la misura del lato del pentagono, la sua proiezione

sulla diagonale è uguale a:

In cui:

Essendo il triangolo ADE isoscele, le proiezioni ortogonali dei due lati sono congruenti perciò la misura della diagonale è uguale a due volte questo valore:

La misura del coseno di 36 è somma di un numero irrazionale e di un numero razionale, e può essere anche espresso sforma di frazione:

Adesso moltiplichiamo tutto per

:

Otteniamo:

Se si considera per il numero

il valore pprossimata alla terza cifra decimale:

si può considerare anche direttamente la quantità

.

Ne deriva che, per trovare la diagonale di un pentagono basta dividere per 2 la misura del suo lato e poi moltiplicare per il valore 3,236.

Per ulteriori approfondimenti sul teorema delle proiezioni vedi qua