Trapezio isoscele - Proprietà e formule

Un appunto di geometria piana per la scuola secondaria di primo grado, dedicato ad uno dei quadrilateri più ricorrenti nei problemi sui poligoni, il trapezio isoscele. Rivediamo insieme la sua definizione e gli elementi che lo caratterizzano, i teoremi principali e quindi le sue proprietà. Scopriamo da dove derivano le formule che si usano per calcolare il perimetro e l’area, con le relative formule inverse. Completiamo con due semplici problemi per fissare le idee.

Quadrilateri trapezi, caratteristiche generali

Un trapezio per definizione è un quadrilatero che presenta solo due lati paralleli.

Questi costituiscono le sue basi che sono sempre diverse e sono definite base maggiore e base minore, gli altri due lati sono genericamente detti lati obliqui. Rispetto alle caratteristiche dei lati obliqui abbiamo tre tipi di trapezi:

• trapezio scaleno: se i lati obliqui non sono congruenti;
• trapezio rettangolo: se un lato obliquo è perpendicolare alle basi;
• trapezio isoscele: se i lati obliqui sono congruenti

Per quanto detto sopra, possiamo dedurre che:

• nel trapezio scaleno anche le diagonali non sono congruenti;
• un trapezio rettangolo è necessariamente anche scaleno, perché i suoi lati obliqui non sono congruenti e l’altezza coincide con il lato perpendicolare alle due basi;
• nel trapezio isoscele sono congruenti gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi e anche le diagonali

In figura è rappresentato un trapezio isoscele, scriviamo le relazioni esistenti tra lati ed angoli:

• lati obliqui congruenti
  [math]\to AD\cong BC[/math]
  ;
• angoli congruenti e adiacenti alla base maggiore
  [math]\to \widehat{DAB}\cong \widehat{ABC}[/math]
• angoli congruenti e adiacenti alla base minore
  [math]\to \widehat{CDA}\cong \widehat{ACD}[/math]
• diagonali congruenti
  [math]\to AC\cong BD[/math]

Teoremi del trapezio isoscele

Si dimostra sia la congruenza degli angoli adiacenti alle basi che la congruenza delle diagonali. Per dimostrare la congruenza degli angoli adiacenti alle due basi si tracciano le due altezze relative alla base maggiore AB dai vertici C e D, dette rispettivamente CH e DK e, facciamo sempre riferimento alla figura in alto, vengono a formarsi due triangoli rettangoli AKD e CHB. Dalla congruenza di questi triangoli si deriva la congruenza degli angoli adiacenti alle basi.
Per dimostrare la congruenza delle diagonali AC e BD, si considerano invece i triangoli ABD e BAC, questi sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, da ciò deriva la congruenza delle diagonali.

Perimetro del trapezio, formule diretta e inverse

Indichiamo come segue tutti gli elementi del trapezio isoscele:

• [math]B[/math]
  la base maggiore;
• [math]b[/math]
  la base minore;
• [math]H[/math]
  l'altezza
• [math]L[/math]
  il lato obliquo

Il perimetro

è dato semplicemente dalla somma dei 4 lati:

Con le formule inverse del perimetro possiamo ricavare ciascuna delle due basi oppure il lato obliquo:

• [math]B=2p-\left(b+2L\right)[/math]
• [math]b=2p-\left(B+2L\right)[/math]
• [math]L=\frac{p-\left(B+b\right)}{2}[/math]

Area del trapezio, formule diretta e inverse

. L’area di un triangolo

è il semiprodotto della base per l’altezza relativa ad essa:

scriviamo ora che la base del triangolo è uguale alla somma della basi del trapezio:

scriviamo che le altezze sono uguali:

Volendo ricavare le varie grandezze dobbiamo usare una delle seguenti formule:

• [math]H=\frac{2A}{(B+b)}[/math]
• [math]B+b=\frac{2A}{H}[/math]
• [math]B=\frac{2A}{H}-b[/math]
• [math]b=\frac{2A}{H }-B[/math]

Applicazioni numeriche

Svolgiamo insieme due semplici problemi sul trapezio isoscele e sulle superfici equivalenti.

Problema 1

Svolgimento
Sappiamo che i due quadrilateri sono equivalenti questo significa che hanno la stessa area. Possiamo usare la formula inversa per il calcolo dell’altezza H in quanto conosciamo sia l’area che le due basi. Procediamo e scriviamo la formula:

inseriamo i valori numerici di tutte le grandezze:

eseguendo i calcoli:

e infine:

che è la misura dell’altezza richiesta.

Problema 2

Svolgimento
Per rispondere alla domanda dobbiamo calcolare il perimetro della vetrata, di cui conosciamo tutti lati. Procediamo:

Osserviamo che una unità di misura non è omogenea alle altre. La misura del lato superiore della vetrata che equivale alla base minore del trapezio, è espressa in centimetri, perciò dobbiamo convertire in metri per poter effettuare la somma:

ora possiamo sommare:

Serviranno 7,40 metri di cornice per la vetrata.

Per ulteriori approfondimenti vedi altri problemi svolti sul trapezio isoscele anche qua