Teorema delle proiezioni per la risoluzione dei triangoli qualsiasi

In questo appunto si descrive il teorema delle proiezioni per la risoluzione dei triangoli qualsiasi. La trigonometria è quella parte della matematica che tratta le relazioni tra le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli di un triangolo. La trigonometria ha importanti applicazioni in fisica, topografia, astronomia, navigazione. Per esempio, in molti problemi in cui bisogna determinare le misure di lunghezze che è impossibile eseguire in modo diretto (ad esempio le distanze astronomiche) riesce più facile e più accurato trovare la misura di opportuni angoli (per i quali ci sono appositi strumenti, come il teodolite) e poi risalire alle distanze desiderate applicando i teoremi di trigonometria. Con il teorema delle proiezioni è possibile mettere in relazione la misura di ciascun lato di un triangolo con quella degli altri due lati e del coseno dell’angolo che ciascuno di questi, forma col primo.

Teoremi fondamentali sui triangoli rettangoli

In trigonometria con la dicitura risoluzione di un triangolo rettangolo si intende che a partire dalla conoscenza di due elementi, fra cui almeno un lato, si possono determinare tutti gli altri.
Utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli, il teorema dei seni e il teorema del coseno (o Teorema di Carnot), è possibile estendere la risoluzione a un triangolo qualsiasi, come consente di fare il teorema delle proiezioni che vedremo in questo appunto.
Riportiamo ora gli enunciati di tutti i principali teoremi utilizzati nella trigonometria a partire da quelli sui triangoli rettangoli.

Primo teorema sui triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto, o moltiplicata per il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.

Secondo teorema sui triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto, o moltiplicata per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto.

Teorema della corda

La misura di una corda di una circonferenza è uguale al prodotto della misura del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su uno dei due archi sottesi alla corda.
Questo teorema può essere utilizzato sia per determinare la misura di una corda che per determinare la misura di un angolo.

Teoremi sui triangoli qualunque

Come anticipato nel paragrafo precedente ci sono altri teoremi che valgono per triangoli qualsiasi e sono il teorema dei seni e il teorema del coseno dei quali riportiamo gli enunciati.
Il teorema dei seni era conosciuto poco, prima che venisse espresso per la prima volta in forma moderna, dall'astronomo persiano Nasir Edwin (1201-1274). In Europa il teorema per la prima volta viene enunciato chiaramente da Regiomontano (1436-1476), nel suo trattato De triangulis. Questo teorema è noto anche come teorema di Eulero e rappresenta anche uno dei risultati più interessanti della trigonometria per la sua semplicità.
Teorema dei seni
In ogni triangolo qualsiasi è costante il rapporto fra la misura di ciascun lato e il seno dell'angolo opposto ad esso
Indicando con a, b e c le misure dei lati di un triangolo e rispettivamente con , e le misure degli angoli opposti, il teorema si può esprimere nella seguente forma matematica:



Considerando le relazioni per ogni coppia di lati, possiamo dire anche che il rapporto tra le misure di due lati di un triangolo è uguale al rapporto tra i seni degli angoli rispettivamente opposti a tali lati, in simboli abbiamo:

Teorema del coseno

In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo fra di essi compreso.
Facendo riferimento alle figure presenti nel file pdf allegato, le relazioni del teorema, per ciascun lato sono le seguenti:

• [math]a^2 =b^2+c^2-2bc \cdot cos \alpha[/math]


• [math]b^2=a^2+c^2-2ac \cdot cos \beta[/math]


• [math]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos \gamma[/math]

Si tratta di un teorema che può essere visto come una generalizzazione del teorema di Pitagora. Questo teorema compare in una forma equivalente già negli Elementi di Euclide, l'enunciato della forma moderna è dovuta al matematico francese Francois Viète (1540-1603). È noto anche come teorema di Carnot in onore del matematico francese Lazarc Nicolas Carnot che ne diede una generalizzazione relativa al tetraedro.

Esempi di applicazione dei teoremi a triangoli qualsiasi

Il teorema dei seni e il teorema del coseno permettono di risolvere qualsiasi triangolo di cui siano noti tre elementi, fra cui almeno un lato. Vediamo 4 esempi.

Esempio 1 - Sono noti un lato del triangolo e i due angoli adiacenti
In questo caso si può determinare il terzo angolo del triangolo per semplice differenza, ricordando che la somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo è equivalente ad un angolo piatto; si possono determinare poi le misure che gli altri due lati applicando il teorema dei seni.
La risoluzione di un triangolo noti un lato e gli angoli adiacenti ammette sempre un'unica soluzione in virtù del secondo criterio di congruenza dei triangoli,

Esempio 2 - Sono noti due lati del triangolo e l'angolo compreso fra di essi
In questo caso, grazie all'applicazione diretta del teorema del coseno, possiamo determinare prima la misura del terzo lato del triangolo, e poi le misure degli altri due angoli.
La risoluzione del triangolo in cui sono noti due lati e l'angolo compreso ammette sempre un'unica soluzione in virtù del primo criterio di congruenza dei triangoli.

Esempio 3 - Sono noti i tre lati del triangolo
Sempre applicando il teorema del coseno è possibile ricavare le misure dei angoli del triangolo. Questo tipo di problema in cui sono assegnate le misure a, b, c dei lati ammette però soluzione se e solo se le misure dei lati soddisfano le disuguaglianze triangolari:

• [math]a<b+c[/math]


• [math]b<a+c[/math]


• [math]c<a+b[/math]

In tal caso la soluzione è unica in virtù del terzo criterio di congruenza dei triangoli.

Esempio 4 - Sono noti due lati del triangolo e un angolo non compreso fra di essi
Questo caso richiede particolare attenzione, poiché il problema di costruire un triangolo di cui sono assegnati due lati e un angolo non compreso fra di essi può non avere soluzioni, averne una sola o due soluzioni distinte.
L’utilizzo del teorema dei seni permette di capire in quale dei casi ci si trova. Vediamo come con un esempio numerico.
Risolviamo un triangolo in cui a=7, c=10 e , per il teorema dei seni si ha:



ricavando il termine incognito:



inserendo i valori numerici abbiamo:



L’equazione ottenuta non ha soluzioni poiché la funzione seno non assume valori maggiori di 1. Dunque non esiste alcun triangolo che soddisfa le condizioni date.

Teorema delle proiezioni

In un triangolo qualsiasi ogni lato è somma dei prodotti tra ciascuno degli altri due lati per il coseno dell'angolo che essi formano con il primo lato.
Possiamo tradurre in formula il teorema delle proiezioni, scrivendolo per ogni lato di un triangolo le cui misure sono sempre indicate con a, b e c.

• [math]a=b \cdot cos (\gamma)+c \cdot cos (\beta)[/math]


• [math]b=a \cdot cos (\gamma)+c \cdot cos (\alpha)[/math]


• [math]c=b \cdot cos (\alpha)+a \cdot cos (\beta)[/math]

Sia ABC un triangolo acutangolo, di lati a, b, c. Vogliamo dimostrare il teorema per il alto AB. Tracciata l’altezza CH, AB resta diviso in due parti AH e HB. che sono le proiezioni ortogonali rispettivamente dei lati AC e BC, sulla retta che contiene la base del triangolo. Ecco perché il teorema prende questo nome. Il triangolo ABC è ora suddiviso in due triangoli rettangoli che hanno un cateto in comune (CH), nei quali le due proiezioni sono due cateti. Non resta che applicare il primo teorema dei triangoli rettangoli sia al lato AH che al lato HB. Nel documento allegato è svolta la dimostrazione sia nel caso generale di un triangolo acutangolo che nel caso particolare del triangolo ottusangolo.

Per approfondimenti sulla risoluzione dei triangoli vedi qui