Trapezio - Caratteristiche generali e formule

In questo appunto di geometria del piano verrà descritto il quadrilatero trapezio mettendone in evidenza le caratteristiche generali, verranno elencate tutte le sue proprietà e saranno date le formule dirette ed inverse per il calcolo dell'area e del perimetro.

Trapezio - Caratteristiche principali

Il trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati paralleli chiamati comunemente basi, anche se non sono disposti in maniera orizzontale.

Il trapezio nella maggior parte dei casi, viene rappresentato poggiato sulla base più grande definita base maggiore è indicata con B maiuscolo. L’altra base viene indicata col nome di base minore e perciò indicata con b minuscolo. Gli altri due lati che di solito sono di lunghezza diversa sono chiamati lati obliqui. Ad esempio nell’immagine sottostante il segmento AB rappresenta la base maggiore, DC è la base minore e i lati obliqui sono i segmenti AD e BC.

L'altezza del trapezio, rappresentata in figura dal segmento DH è la distanza tra le due rette parallele che contengono le basi. Anche il segmento BK è un’altezza del trapezio naturalmente uguale a DH e così ogni segmento che sia parallelo ad entrambi. Il segmento che unisce due vertici opposti non appartenenti ad uno stesso lato è definito diagonale, nel trapezio le diagonali sono due AC e BD.
I trapezi sono classificati rispetto alle caratteristiche dei lati obliqui, ne esistono di tre tipologie:

• trapezio scaleno quando i lati obliqui non sono congruenti cioè uno diverso dall'altro;
• trapezio isoscele se i lati obliqui sono congruenti;
• trapezio rettangolo se un lato obliquo è perpendicolare ad entrambe le basi in questo caso il poligono contiene due angoli retti.

Proprietà dei trapezi

Queste due proprietà valgono per tutti i tipi di trapezi:

• In ogni trapezio gli angoli adiacenti ad uno stesso lato obliquo sono supplementari. Osserviamo che gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono coniugati interni, rispetto alle parallele contenenti le due basi tagliate dalle trasversali che invece contengono i lati.
• Le diagonali di un trapezio sì intersecano e formano segmenti proporzionali, detto M il punto di intersezione tra le diagonali AC E BD, vale allora la proporzione:
  [math]AM:MC=BM:MD[/math]

Osserviamo che nel trapezio isoscele essendo congruenti i lati obliqui anche le diagonali sono congruenti e il punto di intersezione le divide esattamente a metà entrambe.
Se la base minore è uguale ai due lati obliqui il trapezio è isoscele e gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano esattamente 45 ° ognuno. Di conseguenza gli angoli adiacenti alla base minore misurano 135° ciascuno. In questo caso particolare, sussiste una relazione tra altezza H e lato obliquo

:

In particolare, facendo sempre riferimento alla figura in alto, sì verifica che il triangolo AHD è isoscele perché l'altezza è congruente alla proiezione del lato obliquo AD sulla base maggiore ovvero AH=DH.

Formule del trapezio

Scriviamo ora tutte le formule utili per il trapezio. Per semplicità di notazione chiameremo:

Ricordiamo che un trapezio è equivalente a un triangolo che ha per altezza la stessa altezza e per base la somma delle basi del trapezio, la sua area è data dal semiprodotto di base per altezza, quindi:

il perimetro 2p, è sempre la somma dei lati, come per tutti i poligoni;

Vediamo ora le inverse del perimetro, per trovare la base maggiore, la minore oppure uno dei lati obliqui:

Formule inverse, data l'area A:

Per ulteriori approfondimenti sull’area del trapezio vedi anche qua

Problemi svolti sul trapezio

Per vedere subito come si applicano le formule, svolgiamo insieme due semplici problemi.
Problema 1
In un trapezio la base maggiore misura 20 cm e la minore 12 cm. Un lato obliquo misura 6 cm mentre l’altro lato è il triplo di quest’ultimo. Quanto misura il perimetro?

Svolgimento
Conosciamo tutti i lati? Riepiloghiamo i nostri dati:

• [math]B=20 cm[/math]
• [math]b=12 cm[/math]
• [math]L_1=6 cm[/math]
• [math]L_2=3\cdot L_1 \to L_2=3\cdot 6cm=18 cm[/math]

Ora applichiamo la formula del perimetro:

ed inseriamo i valori numerici:

Problema di realtà
Un terreno ha la forma di un trapezio rettangolo con i lati che misurano come segue: la base maggiore è 38 cm e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è di 12 cm.
Il terreno deve essere recintato lungo la base minore.
Quanta rete servirà per questo lavoro?
Quanto si spenderà se la recinzione costa 5,40 € a metro lineare?

Svolgimento
Per conoscere la spesa da affrontare dobbiamo sapere quanti metri di recinzione bisogna comprare. In un triangolo rettangolo, la base maggiore e la somma della base minore e della proiezione del lato obliquo. Possiamo determinare la base minore sottraendo la proiezione alla base maggiore:

Il recinto dovrà essere lungo 26 m. Per stabilire la spesa da affrontare moltiplichiamo i metri di recinzione per il costo unitario:

€