Calcolare la misura dell'angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l'ipotenusa, sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'altro cateto vale
[math]1/(2 \cdot \sqrt3)[/math]
.
Detto A il vertice dell'angolo retto, chiamiamo l'angolo
[math]\hat{ACB}[/math]
con x (e questo è l'angolo tra il cateto [math]AC[/math]
e l'ipotenusa [math]CB[/math]
). Posto [math]0, si sa che
[math](\bar{CH})/(\bar{AB})=1/(2\sqrt(3))[/math]
, con H piede dell'altezza relativa all'ipotenusa; ma [math]\bar{CH}=\bar{AC}\cos x[/math]
e [math]\bar{AH}=\bar{AC}\sin x[/math]
, considerando il triangolo rettangolo [math]ACH[/math]
. Se ora considero il triangolo rettangolo [math]ABH[/math]
, in cui [math]\hat{HAB}[/math]
è ampio x, ho che [math]\bar{AB}=(\bar{AC}\sin x)/\cos x[/math]
. Ora [math](\bar{CH})/(\bar{AB})=((\bar{AC}\cos x)/((\bar{AC}\sin x)/\cos x))=1/(2\sqrt(3))[/math]
cioe [math](\cos^2x)/(\sin x)=1/(2\sqrt(3))[/math]
Risolvendo l'equazione troviamo l'ampiezza di x. Facciamo il denominatore comune, ponendo [math]\sin x!=0[/math]
. Ottieniamo: [math]2\sqrt(3)\cos^2x-\sin x=0[/math]
Ora ricordiamo che [math]\cos^2x=1-\sin^2x[/math]
, perciò [math]2\sqrt(3)-2\sqrt(3)\sin^2x-\sin x=0[/math]
. Ordinando e cambiando i segni: [math]2\sqrt(3)\sin^2x+\sin x-2\sqrt(3)=0[/math]
Ora applicando la formula risolutiva: [math]\sin x=(-1+-\sqrt(1+48))/(4\sqrt(3))=(-1+-7)/(4\sqrt(3))[/math]
[math]\sin x=-2\sqrt(3)/3[/math]
che non è accettabile [math]\sin x=\sqrt(3)/2[/math]
, da cui [math]x=60°[/math]
FINE 
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