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E' dato il fascio di rette di equazione
[math](k-2)x+3y-4k+2=0[/math]
determinare:
1 - generatrici e centro del fascio, e se è proprio o improprio
2 - le rette[math]r_1[/math]
ed [math]r_2[/math]
che distano 2 dall'origine, verificando che una delle due è parallela all'asse delle ascisse. 1)
La prima cosa da notare è che si tratta di un fascio proprio di rette.
Infatti, il coefficiente angolare della retta, esprimibile come l'opposto del rapporto tra coefficiente della[math]x[/math]
e della [math]y[/math]
, dipende direttamente da [math]k[/math]
. Comunque, consideriamo il nostro fascio
[math](k-2)x+3y-4k+2=0[/math]
Svolgendo le parentesi, possiamo scriverlo in questa forma
[math]k(x-4)+3y-2x+2=0[/math]
da cui facilmente vediamo che le due rette generatrici sono[math]x-4=0[/math]
e [math]3y-2x+2=0[/math]
. Il centro del fascio è facile da trovare, basta mettere a sistema le generatrici.
Sostituendo quindi[math]x=4[/math]
nella seconda, otteniamo[math]3y-2 \cdot 4+2=0[/math]
ovvero [math]y=2[/math]
. Il centro del fascio è il punto a coordinate [math](4,2)[/math]
2)
Sappiamo che data una retta
[math]ax+by+c=0[/math]
, la distanza da un punto [math](x_0,y_0)[/math]
è[math]d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]
Ora, in questo caso abbiamo che le coordinate [math]x_0[/math]
e [math]y_0[/math]
sono nulle (l'origine, quindi al numeratore rimane solo [math]c[/math]
). Ma [math]c[/math]
è il termine noto, che vale [math]-4k+2[/math]
. Nel nostro caso [math]a[/math]
vale [math]k-2[/math]
e invece [math]b[/math]
sarebbe [math]3[/math]
. Quindi abbiamo che la nostra distanza, in questo caso, è data da[math]d=(|-4k+2|)/(\sqrt{(k-2)^2+3^2})[/math]
ma il problema impone [math]d=2[/math]
, quindi occorre risolvere[math]2=(|-4k+2|)/(\sqrt{(k-2)^2+3^2})[/math]
ovvero[math]2\sqrt{(k-2)^2+3^2}=|2-4k|[/math]
elevando al quadrato[math]4(k^2-4k+13)=16k^2+4-8k[/math]
Con semplici calcoli, arriviamo a [math]12k^2=48[/math]
ovvero[math]k=2[/math]
e [math]k=-2[/math]
Sostituendo il primo valore nell'equazione originaria del fascio, abbiamo la retta[math]y=2[/math]
, parallela all'asse [math]x[/math]
Sostiruendo l'altro valore, abbiamo[math]-4x+3y+6=0[/math]
FINE
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