In questo appunto verrà prima di tutto introdotto il concetto di prisma, specificando che essi si suddividono in vari tipi (non tutti i prismi sono uguali!). Ci soffermeremo, in particolare, sul parallelepipedo, un prisma molto particolare che rientra in questa categoria. Daremo comunque, tuttavia, prima di tutto, la definizione di prisma.
Indice
Prismi
Un prisma è un poliedro (ossia un solido composto da più facce), avente per facce due poligoni uguali di[math] n [/math]
lati(le basi, che giacciono su due piani paralleli) e [math] n [/math]
facce laterali che sono parallelogrammi.
I prismi possono essere di due tipi: retti oppure obliqui.Un prisma si dice retto se le sue facce laterali sono dei rettangoli (si ricorda che un rettangolo è un parallelogramma, ma infatti un parallelogramma non necessariamente è un rettangolo!)
Viceversa, diremo che un prisma è obliquo se le sue facce laterali sono dei parallelogrammi non rettangoli.
In generale, per un prisma retto valgono le seguenti formule:
[math] A_l = 2p \cdot h [/math]
[math] A_l, 2p, h [/math]
indicano rispettivamente i valori dell'area laterale del prisma, il perimetro di base, e l'altezza del prisma.[math] V = A_b \cdot h [/math]
[math] V, A_{b_1}, A_{b_2}, h [/math]
sono rispettivamente il volume, l'area di base e l'altezza del prisma. Infine vale:[math] A_t = A_{b_1} + A_{b_2} + A_l [/math]
[math] A_t, A_{b_1}, A_{b_2}, A_l [/math]
l'area totale, l'area di base e l'area laterale del prisma. Vediamo un caso particolare di prisma: il parallelepipedo.Per approfondimenti sui prismi, vedi anche qua.
Parallelepipedo
Il parallelepipedo è un tipo di prisma che ha come basi due parallelogrammi. Se la base è un rettangolo, allora il parallelepipedo si chiama anch'esso rettangolo.Inoltre, nel parallelepipedo rettangolo le basi sono due a due congruenti. In un parallelepipedo troviamo delle facce opposte, che non hanno nessuno spigolo in comune, i vertici opposti che non appartengono alla stessa faccia, e le diagonali, che uniscono due vertici opposti. Di seguito indicheremo con
[math] a, b, c [/math]
le tre dimensioni del parallelepipedo.
Diagonale del parallelepipedo rettangolo
Per diagonale del parallelepipedo rettangolo si intende quel segmento di lunghezza massima che congiunge due vertici opposti del parallelepipedo, che non condividono spigoli né facce.La misura della diagonale del parallelepipedo rettangolo si calcola eseguendo l'estrazione di radice quadrata del quadrato delle tre dimensioni sommate tra loro, in formule:
[math] d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} [/math]
Superficie laterale del parallelepipedo rettangolo
Per calcolare la superficie laterale del parallelepipedo rettangolo, come già detto prima, bisogna moltiplicare il perimetro di base per l'altezza del prisma. Da questa uguaglianza troviamo anche le formule inverse. Ovviamente l'area laterale dipende dalla base su cui poggia il parallelepipedo, ma in generale vale:[math] A_l = 2p \cdot h \rightarrow 2p = \frac{A_l}{h} \rightarrow h = \frac{A_l}{2p} [/math]
Superficie totale del parallelepipedo rettangolo
Per calcolare l'area della superficie totale del prisma si somma all'area della superficie laterale l'area delle due basi che, essendo congruenti, si possono indicare semplicemente come[math] 2 \cdot A_b [/math]
. Quindi la formula sarà: [math] A_t = A_l + 2 \cdot A_b \rightarrow A_l = A_t - 2 \cdot A_b \rightarrow A_b = \frac{A_t - A_l}{2}[/math]
Volume del parallelepipedo rettangolo
Come già detto nel primo paragrafo, il volume di un prisma è dato dal prodotto tra l'area di base e l'altezza del prisma. Tuttavia, l'area di base è data da[math] ab, bc, ca [/math]
a seconda dell'"orientazione" del parallelepipedo nello spazio. Questo non è però importante, perché l'altezza sarà sempre la dimensione mancante. Quindi il volume potrebbe essere uguale a:[math] V = ab \cdot c \rightarrow V = bc \cdot a \rightarrow V = ca \cdot b [/math]
[math] V = a \cdot b \cdot c [/math]
.Possiamo facilmente ricavarci le formule inverse per risalire ai lati rimanenti, ma solo se abbiamo a disposizione almeno due dimensioni. Dato un volume e una sola dimensione, esistono infatti infiniti parallelepipedi che rispettano tali uguaglianze di volume.
In sintesi:
[math] a = \frac{V}{bc} \rightarrow b = \frac{V}{ca} \rightarrow c = \frac{V}{ab} [/math]
Nota: Se
[math] a = b = c [/math]
, allora il volume del prisma è uguale a [math] V = a^3 [/math]
. Stiamo, in questo caso, parlando di un cubo.
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