di _Tipper

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Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di un piano passante per il punto

[math](x_{0}, y_{0}, z_{0})[/math]

e ortogonale al vettore

[math](a, b, c)[/math]

[math]a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0[/math]

o equivalentemente

[math]a x + b y + c z = d[/math]

, con

[math]d = a x_0 + b y_0 + c z_0[/math]

Piano passante per l'origine: un piano con equazione cartesiana

[math]ax + by + cz = d[/math]

passa per l'origine

[math](0, 0, 0)[/math]

se e solo se

[math]d = 0[/math]

Piano parallelo agli assi coordinati: dato un piano con equazione cartesiana

[math]a x + b y + c z = d[/math]

se

[math]a=0[/math]
e
[math]b, c \ne 0[/math]
il piano parallelo all'asse
[math]x[/math]
se

[math]b = 0[/math]
e
[math]a, c \ne 0[/math]
il piano parallelo all'asse
[math]y[/math]
se

[math]c = 0[/math]
e
[math]a, b \ne 0[/math]
il piano parallelo all'asse
[math]z[/math]

Piano parallelo ai piani coordinati: dato un piano con equazione cartesiana

[math]a x + b y + c z = d[/math]

se

[math]a = b = 0[/math]
e
[math]c \ne 0[/math]
il piano parallelo al piano
[math]x y[/math]
se

[math]a = c = 0[/math]
e
[math]b \ne 0[/math]
il piano parallelo al piano
[math]x z[/math]
se

[math]b = c = 0[/math]
e
[math]a \ne 0[/math]
il piano parallelo al piano
[math]y z[/math]

Piano passante per tre punti non allineati: l'equazione cartesiana del piano passante per i tre punti (non allineati)

[math](x_1, y_1, z_1) \qquad (x_2, y_2, z_2) \qquad (x_3, y_3, z_3)[/math]

[math]\displaystyle \det{{\left(\begin{matrix}{x}\quad&{y}\quad&{z}\quad&{1}\\{x}_{{1}}\quad&{y}_{{1}}\quad&{z}_{{1}}\quad&{1}\\{x}_{{2}}\quad&{y}_{{2}}\quad&{z}_{{2}}\quad&{1}\\{x}_{{3}}\quad&{y}_{{3}}\quad&{z}_{{3}}\quad&{1}\end{matrix}\right)}}={0}[/math]

Condizione di parallelismo: due piani con equazioni cartesiane

[math]a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1[/math]

[math]a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2[/math]

sono paralleli se e solo se i vettori

[math](a_1, b_1, c_1)[/math]

[math](a_2, b_2, c_2)[/math]

sono paralleli, cioè se esiste

[math]k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}[/math]

tale che

[math](a_1, b_1, c_1) = k (a_2, b_2, c_2)[/math]

Condizione di ortogonalità: due piani con equazioni cartesiane

[math]a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1[/math]

[math]a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2[/math]

sono ortogonali se e solo se i vettori

[math](a_1, b_1, c_1)[/math]

[math](a_2, b_2, c_2)[/math]

sono ortogonali cioè se

[math]a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0[/math]

Distanza di un punto da un piano: la distanza fra il punto

[math](x_0, y_0, z_0)[/math]

e il piano di equazione

[math]a x + b y + c z = d[/math]

[math]\text{distanza} = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}[/math]

Condizione di parallelismo fra una retta e un piano: un piano di equazione

[math]a x + b y + c z = d[/math]

e una retta di equazione

[math]\frac{x - x_0}{\alpha} = \frac{y - y_0}{\beta} = \frac{z - z_0}{\gamma}[/math]

sono paralleli se e solo se

[math]a \alpha + b \beta + c \gamma = 0[/math]

Geometria analitica nello spazio: piano

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di un piano passante per il punto [math] x_0, y_0, z_0 [/math] e ortogonale al vettore [math]a, b, c[/math]

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