Parallelepipedo - Caratteristiche geometriche e formule

L’appunto di geometria è scritto per gli alunni della scuola secondaria di primo grado, contiene richiami teorici di geometria solida, con particolare riguardo al prisma retto e quindi al parallelepipedo. Seguono dei paragrafi dedicati alla spiegazione delle formule che servono per il calcolo delle misure delle sue superfici: laterale, di base e totale nonché del volume del solido.

Geometria solida – dal piano allo spazio

Rispolveriamo un po’ alcuni elementi di geometria solida prima di passare allo studio del parallelepipedo.

Ricordiamo che la geometra solida studia tutte le proprietà delle figure solide, cioè delle figure che hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza (o spessore). I punti di una figura solida non appartengono tutti allo stesso piano come accade per una figura piana. Un foglio da disegno di forma rettangolare è una figura piana, il cubo di Rubik è un solido. Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa e in base alla forma di questa abbiamo due famiglie di solidi: i poliedri e i solidi rotondi. La superficie dei poliedri è formata solo da poligoni situati su piani come il cubo, la piramide, il parallelepipedo. I solidi rotondi hanno almeno una superficie curva, sono solidi rotondi il cilindro il cono, la sfera. I poliedri, per definizione, sono solidi che hanno la superficie costituita da poligoni posti su piani diversi e disposti in modo che ogni lato sia comune a due di essi. Ecco gli elementi di un poliedro:

• le facce sono i poligoni che costituiscono la sua superficie;
• gli spigoli sono i lati dei poligoni;
• i vertici corrispondono ai vertici dei poligoni;
• le diagonali sono i segmenti interni al poliedro che uniscono due vertici che non appartengono alla stessa faccia.

Come per formare un poligono occorre un minimo numero di lati che è 3 formando così i triangoli, così per dare origine a un poliedro occorrono almeno 4 facce e il poliedro che si forma è detto tetraedro.

Prismi - Poliedri convessi, solidi platonici

I poliedri possono essere sia convessi che concavi. Nel primo tipo ciascun piano che contiene una faccia non attraversa il poliedro, nel secondo tipo almeno una faccia giace su un piano che attraversa il solido. Ricordiamo che anche per i poligoni vale questa distinzione, naturalmente in riferimento alla posizione dei prolungamenti dei lati.
I prismi sono poliedri costituiti da due poligoni congruenti, appartenenti a piani paralleli, detti basi del prisma, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati dei poligoni. Se i poligoni di base sono due parallelogrammi il prisma è denominato parallelepipedo. Il cubo è un particolare parallelepipedo che ha tutte le facce a forma di quadrato. La piramide è un poliedro costituito da un poligono di base e le facce sono triangolari. Esistono altri 4 poliedri come il cubo che hanno tutte le facce congruenti a forma di poligoni regolari, e tutti gli angoli congruenti, questi sono detti poliedri regolari, noti anche come solidi Platonici, in onore del filosofo greco Platone che associò ad ognuno di essi un elemento naturale (fuoco, aria, acqua, terra e universo). Degli altri 4 solidi Platonici, tre hanno facce a forma di triangoli equilateri: il tetraedro ne ha 4, l’ottaedro ne ha 8, l’icosaedro 20, l’ultimo è il dodecaedro che ne ha 12 ma a forma di pentagoni regolari.

Parallelepipedo - Un prisma retto

. Se non si verifica questa condizione di perpendicolarità il prisma è detto obliquo, inoltre un prisma retto si definisce regolare se ha per base un poligono regolare da cui ha origine il nome che lo identifica. Il parallelepipedo rettangolo è dunque un prisma retto che ha per base un rettangolo. Così un parallelepipedo a base triangolare avrà come basi due triangoli regolari e 3 facce laterali sempre rettangolari, se è a base pentagonale avrà come basi due pentagoni regolari e 5 facce sempre rettangolari e così via.
Passiamo ora alla misura della superficie e del volume di questo tipo di solidi. La superficie occupata dalle facce laterali è costituita da un rettangolo le cui dimensioni corrispondono al perimetro del poligono di base e all’altezza del solido. L’area di base è la somma delle superfici delle due facce di base, la cui formula dipende dalla forma del poligono di base, l’area totale è la somma di entrambe. Il volume, indicato con V è la misura dello spazio occupato dal prisma.

Formule per il parallelepipedo rettangolo

Usiamo i seguenti simboli:

superficie di base

superficie laterale

superficie totale

volume

base e altezza del parallelogramma di base

perimetro della base

altezza del parallelepipedo

L’area di base è l’area del poligono di base, ovvero l’area del rettangolo:

che va conteggiata due volte nella superficie totale.
L’area laterale è data dal prodotto del perimetro di base per l’altezza H del prisma:

in cui p è il perimetro di base dato da:

:

:

La misura della diagonale si ottiene estraendo la radice quadrata della somma dei quadrato delle tre dimensioni a,b,c del parallelepipedo. In simboli matematici:

Formule inverse

Seguono le formule inverse da utilizzare per ricavare di volta in volta le grandezze che servono:
Nota la misura della superficie di base

e una delle due dimensioni è possibile ricavare l’altra:

Nota la misura della superficie laterale e l’altezza troviamo il perimetro come segue:

oppure l’altezza H del parallelepipedo:

Nota l’area totale e quella laterale possiamo ricavare quella di base:

oppure la laterale:

Valgono infine le seguenti formule inverse relative al volume:

per ulteriori approfondimenti sui solidi di rotazione vedi qua