Rettangolo, calcolo del perimetro

Da sempre l’uomo osservando la natura, ha trasformato ciò che vedeva in segni e in forme, schematizzando la realtà. La geometria interpreta quindi la realtà e costruisce dei modelli che mettono in luce le loro caratteristiche: una cornice, un campo da calcio, un libro, una finestra, possono essere rappresentati da un rettangolo e studiando le proprietà del modello rettangolo si studiano le proprietà di tutti gli oggetti rettangolari. Rivediamo in questo appunto le proprietà geometriche di questa figura largamente utilizzata.

Rettangolo un parallelogramma con quattro angoli retti

Il rettangolo è un poligono quadrilatero convesso ed è un particolare parallelogramma in quanto i suoi quattro lati sono a due a due paralleli e congruenti.

Inoltre i quattro angoli sono tutti congruenti e tutti retti cioè di 90°. Da questa proprietà deriva proprio il nome del poligono. Anche per il rettangolo le diagonali si intersecano nel loro punto medio e sono anche congruenti. Il teorema che afferma questa proprietà viene dimostrato utilizzando il primo criterio di congruenzadei triangoli. Tracciando infatti le due diagonali si vengono a formare due triangoli rettangoli. Le diagonali sono le ipotenuse e i due lati del rettangolo sono i cateti di ciascun triangolo. I due triangoli rettangoli hanno congruenti i due lati e l'angolo fra essi compreso. Sono perciò congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli qualsiasi. Essendo congruenti tutti i loro elementi corrispondenti, lo sono anche le due diagonali.

Proprietà del rettangolo

Riepiloghiamo ora le proprietà di questo poligono.
In un rettangolo i due lati consecutivi individuano l'angolo retto, dunque sono tra di loro perpendicolari. 
In ogni rettangolo i lati opposti sono paralleli e congruenti.
I due lati del rettangolo vengono indicati di norma con i nomi di base (b) e altezza (h) del quadrilatero.
Il rettangolo presenta due assi di simmetria. Un’asse è parallelo alla direzione delle due altezze e viene tracciato congiungendo i punti medi delle due basi. Un altro asse è parallelo alla direzione delle due basi e per tracciarlo bisogna congiungere i punti medi delle due altezze. In pratica bisogna realizzare una croce all’interno del rettangolo, in questo modo la figura rimane divisa in quattro parti tutte congruenti che sono ancora quattro rettangoli più piccoli.
Il rettangolo possiede anche un centro di simmetria che coincide con il punto di intersezione delle due diagonali cioè il loro punto medio. Questo vale per ogni coppia di punti appartenenti a due lati opposti. Tracciando il segmento che unisce punti appartenenti ai lati opposti del poligono si ottengono sempre coppie di punti simmetrici rispetto al centro.
Tracciando le due diagonali del rettangolo si formano quattro triangoli congruenti a due a due.
Sono coppie di triangoli isosceli perché in ciascuno di essi i lati obliqui sono la metà delle diagonali che come abbiamo detto sono congruenti.

Perimetro del rettangolo

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La metà del perimetro è il semiperimetro e si indica solo con la lettera p. 
Se due poligoni hanno lo stesso perimetro vengono definiti isoperimetrici.
Le due dimensioni del rettangolo sono la base e l'altezza indicate rispettivamente con b e h. Il perimetro è la somma dei suoi quattro lati, la formula per il perimetro del rettangolo è:

2p= b+b+h+h
2p= 2b+2h
2p=2(b+h)

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Le formule inverse del perimetro sono due per ricavare la base oppure l'altezza.

Osserviamo che dividendo il perimetro per due si ottiene il semiperimetro quindi le due formule possono essere riscritte anche in questo modo più semplice:

Area del perimetro la formula

L’area di un rettangolo si ottiene moltiplicando le due dimensioni:

Anche per l’area abbiamo due formule inverse una per ricavare la base e l’altra per ricavare l’altezza:

Applicazione numerica

Come applicazione numerica svolgiamo un problema in cui la misura della base dell’altezza sono entrambe incognite. Sono invece note la misura della superficie del rettangolo cioè la sua area A, e il rapporto tra base e altezza.
Testo del problema
Calcolare il perimetro di un rettangolo sapendo che l’area A è 120 cm² e il rapporto tra le sue dimensioni è

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Svolgimento
Il rapporto tra la base e l’altezza è di 3 a 2 questo significa che la base è maggiore dell'altezza di una volta e mezza. Come possiamo utilizzare questa informazione?
Conoscere il rapporto tra due grandezze significa che qualunque sia la misura della base e dell’altezza, il loro rapporto è sempre costante cioè vale sempre

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L’area si misura in centimetri quadrati, possiamo perciò considerare la superficie del rettangolo ricoperta da tanti quadratini tutti uguali, disposti per righe e per colonne.
Il numero delle righe corrisponde alla misura dell’altezza mentre il numero delle colonne corrisponde alla misura della base. Il prodotto tra numero di righe e numero di colonne rappresenta il numero di quadratini che ricoprono la superficie del rettangolo, in questo caso sono esattamente sei.

Con questa operazione abbiamo stabilito che la superficie del rettangolo è equivalente a quella di sei quadratini ciascuno di area 20 cm².
Ora che conosciamo l’area di un singolo quadratino possiamo anche determinarne il lato con la formula inversa dell’area del quadrato:

Questo valore è l’area di un singolo quadratino ora dobbiamo calcolare il lato di un quadratino estraiamo perciò la radice quadrata del valore dell'area.

Ora moltiplichiamo questo valore una volta per 3 ed abbiamo la misura della base, poi per 2 ed abbiamo la misura dell'altezza:

Le due dimensioni del rettangolo sono note calcoliamo il perimetro:

[math]2p=2(13,41+88,94) cm[/math]
[math]2p=2(13,41+8,94) cm[/math]
[math]2p=44,7 cm[/math]

Per approfondimenti, vedi qua:
Area e perimetro del rettangolo
Area del rettangolo
Rettangolo - Problemi con equazioni di primo grado