Triangoli e quadrilateri: definizioni e teoremi principali

In tutta la matematica e in particolare in geometria euclidea, per costruire tutto il sistema formale sono fondamentali alcune parole chiave: definizione, assioma, teorema, ente primitivo e dimostrazione. In questo appunto proponiamo un riepilogo dei principali teoremi sui triangoli e su alcuni quadrilateri ricorrenti nei problemi quali: trapezio, parallelogramma, rettangolo, rombo e quadrato.

Elementi fondamentali della geometria

Il termine geometria ci fa pensare immediatamente ad una lunga sequenza di regole per il calcolo di perimetri, aree e volumi applicate nella risoluzione di problemi più o meno complessi.

La geometria è tutto questo ma anche molto di più. Ogni giorno, in maniera più o meno inconscia, utilizziamo delle conoscenze algebriche e aritmetiche. Facciamo un esempio semplice: supponiamo di dover attraversare una piazza di forma rettangolare, per andare da un angolo all'angolo opposto; se non vi sono ostacoli attraversiamo istintivamente in diagonale e non certo seguendo i due lati della piazza. Senza saperlo abbiamo applicato uno dei teoremi fondamentali sui triangoli: in un triangolo rettangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
Gli enti geometrici che vengono assunti senza esplicitarne il significato si dicono enti primitivi; si assumono dando per scontato che ciascuno ne possa avere un’idea intuitiva. Gli enti primitivi sono tre: il punto, la retta, il piano.
Gli assiomi o postulati sono delle proposizioni che si assumono vere senza che vengano dimostrate.
I teoremi sono proposizioni la cui verità è dimostrata a partire dagli assiomi e da proposizioni precedentemente dimostrate.

Assiomi della geometria piana di Euclide

La geometria euclidea si basa su 5 assiomi di appartenenza e un assioma d’ordine.
Assiomi di appartenenza

• 1° Dati due punti distinti per essi passa una e una sola retta.
• 2° Data una retta su di essa esistono almeno due punti distinti.
• 3° Dato un punto P nel piano, esistono rette del piano non passanti per esso.
• 4° Dati tre punti non allineati, per essi passa uno e un solo piano.
• 5° Dati due punti in un piano, la retta passante per essi giace interamente sullo stesso piano.

Assioma d’ordine

Ogni retta è un insieme ordinato di punti tale che presi due punti distinti su di essa, detti A e B tali che A precede B, tra essi esiste almeno un altro punto C che segue A e precede B. Viceversa preso sulla retta un punto C, esistono sempre due altri punti A e B tali che A precede C e segue B.

Triangoli qualsiasi criteri di congruenza, e teoremi notevoli

Congruente non è sinonimo di uguale. Facciamo sempre che le definizioni geometriche siano correttamente utilizzate. Due figure congruenti sono perfettamente sovrapponibili mediante un movimento rigido, ovvero un movimento che applicato a una figura, non la modifica né deforma in alcun modo. La congruenza delle figure piane è una relazione di equivalenza perché gode di tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva.
I criteri di congruenza sono delle condizioni sufficienti a stabilire se due triangoli qualsiasi, siano congruenti.
Vediamo quali sono queste condizioni da soddisfare.
Primo criterio: Due triangoli che hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso sono congruenti.
Secondo criterio: Due triangoli che hanno rispettivamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti sono congruenti.
Terzo criterio: Due triangoli che hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati sono congruenti.
Ora alcuni teoremi importanti molto utilizzati in altre dimostrazioni.
Teorema del triangolo isoscele: condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele e che abbia due angoli congruenti.
Da questo teorema discende in maniera immediata che un triangolo equilatero, visto come un particolare triangolo isoscele è anche equiangolo.
Sempre per il triangolo isoscele vale il seguente teorema della bisettrice:
In un triangolo isoscele, la bisettrice dell'angolo al vertice è perpendicolare alla base e la divide in due parti congruenti.
Questo teorema afferma dunque che in un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice è anche altezza e mediana relativa alla base.

Relazioni di disuguaglianza nei triangoli

In un triangolo qualsiasi esistono delle relazioni tra gli angoli e i lati che possono essere espresse mediante delle disuguaglianze.
Teorema 1: in un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente.
Teorema 2: il un triangolo, al lato maggiore è opposto angolo maggiore.
Da questi due teoremi ne segue uno tra i più importanti e le sue applicazioni vanno oltre l'ambito della geometria, è il teorema che stabilisce la disuguaglianza che esiste tra i lati di un triangolo qualsiasi.mQuesta relazione è nota come disuguaglianza triangolare.
Teorema: in un triangolo, ogni lato è sempre minore della somma degli altri due.
Teorema: in un triangolo ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due.
Questi due teoremi permettono di comprendere perché, dati tre numeri positivi che ipotizziamo per semplicità essere numeri interi, non possono sempre rappresentare la lunghezza dei lati di uno stesso triangolo

Triangoli rettangoli, criteri di congruenza

Tutti i triangoli hanno l’angolo retto congruente, per stabilire se due di essi sono congruenti bisogna trovare altri due elementi che siano rispettivamente congruenti. I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli sono quattro e mettono in relazione le seguenti coppie di elementi corrispondenti.
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:

• I due cateti;
• l’ipotenusa e un cateto;
• l’ipotenusa e un angolo acuto
• cateto e un angolo acuto

Trapezio e parallelogramma

Il trapezio è un quadrilatero convesso con due lati opposti paralleli e gli altri due non paralleli.
Teorema sulle proprietà del trapezio: in ogni trapezio gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari; inoltre, se il trapezio è isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi sono uguali.
Il parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli
Teorema sulle proprietà del parallelogramma: se un quadrilatero è un parallelogramma, allora

• ciascuna diagonale lo divide in due triangoli uguali;
• i lati opposti sono congruenti;
• gli angoli opposti sono congruenti;
• le diagonali si dividono scambievolmente a metà.

Rettangolo, rombo e quadrato

Un rettangolo è un parallelogramma con tutti gli angoli retti.
Un rettangolo risulta dunque equiangolo, oltre a godere di tutte le proprietà dei parallelogrammi. In particolare, vale il seguente teorema sulle diagonali: se un parallelogramma è un rettangolo, le sue diagonali sono congruenti.
Un rombo è parallelogramma equilatero, ma non è equiangolo. In un rombo gli angoli opposti sono congruenti e quelli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
Per quanto riguarda il rombo ricordiamo il teorema sulle proprietà. Se un parallelogramma è un rombo allora:

• le diagonali sono tra loro perpendicolari;
• le diagonali sono bisettrici degli angoli interni.

Il quadrato è un quadrilatero equilatero ed equiangolo. Dalla definizione è immediato constatare che:

• il quadrato è un particolare parallelogramma;
• il quadrato è anche un rombo e un rettangolo;
• il quadrato è anche un rettangolo.

Vale allora il seguente teorema sulle proprietà del quadrato: in un quadrato le diagonali sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli interni.

Per approfondimenti ulteriori su definizioni geometriche e teoremi vedi anche qui