Teoremi fondamentali sui poligoni: triangoli, poligoni regolari, inscritti e circoscritti in una circonferenza

In questo appunto di Geometria vengono descritti i teoremi fondamentali relativi ai punti notevoli di un triangolo, ai poligoni inscritti e cricoscritti in una circonferenza e ai poligoni regolari. In ognuno di questi tre casi sono enunciati i teoremi e effettuate delle osservazioni e dei commenti utili per comprendere appieno l'argomento.

Punti notevoli di un triangolo

• Teorema 1
Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto equidistante dai vertici: tale punto è dettocircocentro

• Teorema 2
Le tre altezze di un triangolo passano per uno stesso punto, tale punto è detto ortocentro

• Teorema 3
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto equidistante dai lati, tale punto è detto incentro

• Teorema 4
Le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e dell'angolo interno non adiacente ad essi passano per uno stesso punto, tale punto è detto excentro

Osservazione:
dai teoremi 3 e 4 si deduce che nel piano di un triangolo vi sono quattro punti equidistanti dalle rette dei lati: l'incentro e tre excentri.

• Teorema 5
In un triangolo qualunque le tre mediane passano per uno stesso punto: baricentro o centro di gravità del triangolo, che divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella contenente il vertice è il doppio dell'altra.

Conclusione:
Il circocentro, l'ortocentro, l'incentro, i tre excentri e il baricentro si dicono punti notevoli del triangolo.

Per ulteriori approfondimenti sui punti notevoli di un triangolo vedi anche qua

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza

, questa a sua volta si dice circoscritta al poligono.
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, che a sua volta si dice inscritta nel poligono.

• Teorema 1
Quando un poligono è inscritto in una circonferenza, gli assi dei lati si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza

• Teorema 2
Quando un poligono è circoscritto ad una circonferenza, gli assi dei lati si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza.

• Teorema 3
Quando un poligono è circoscritto ad una circonferenza, le bisettrici degli angoli si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza.

Ad ogni triangolo si può sempre circoscrivere una circonferenza, il cui centro è il punto di intersezione degli assi dei lati.

In ogni triangolo si può sempre inscrivere una circonferenza il cui centro è il punto d'incontro delle bisettrici dei suoi angoli.

A un poligono qualunque di un numero di lati superiore a tre non si può in generale né circoscrivere né inscrivere una circonferenza: quando ciò avviene il poligono si dice rispettivamente inscrittibile o circoscrittibile.

• Teorema 4
In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia inscrittibile in una circonferenza è che esso abbia due angoli opposti supplementari.

• Teorema 5
Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrittibile ad una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due.

Per ulteriori approfondimenti sui poligoni inscritti e circoscritti vedi anche qua

Poligoni regolari

Un poligono si dice regolare quando ha i lati e gli angoli congruenti, cioè quando è equilatero ed equiangolo.

• Teorema 1
Ad ogni poligono regolare si può circoscrivere e inscrivere una circonferenza e le due circonferenze hanno lo stesso centro.

• Teorema 2
Se una circonferenza è divisa in un qualsivoglia numero di archi congruenti, il poligono inscritto ottenuto congiungendo successivamente i punti di suddivisione è regolare ed è regolare anche il poligono circoscritto i cui lati sono tangenti alla circonferenza in quei punti.

• Teorema 3
Il lato dell'esagono regolare è congruente al suo raggio