lisaaparma
Ominide
7 min. di lettura
Vota 3 / 5

In questo appunto troverai un riassunto delle proprietà e dei teoremi relativi ai quadrilateri, suddivisi per figura di riferimento. Quadrilateri: definizione, classificazione e principali teoremi articolo

Indice

  1. Cos'è il parallelogrammo e quali sono le principali proprietà
  2. Cos'è un rettangolo e quali sono le principali proprietà
    1. Teorema sui rettangoli
  3. Cos'è il rombo e quali sono le sue proprietà
  4. Cos'è un quadrato e quali sono le proprietà
  5. Cos'è un trapezio e come riconoscerlo
  6. Casi particolari di segmenti congruenti nei triangoli e nei trapezi
  7. Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un triangolo
    1. Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un trapezio
  8. Esercizio di ricapitolazione sui quadrilateri
  9. Soluzione dell'esercizio

Cos'è il parallelogrammo e quali sono le principali proprietà

Secondo la definizione rigorosa, si definisce parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.
Le condizioni necessarie affinché un quadrilatero si possa definire un parallelogramma sono:

  • ogni diagonale del quadrilatero lo divide in due triangoli congruenti
  • i lati opposti del quadrilatero sono congruenti
  • gli angoli opposti sono congruenti
  • gli angoli adiacenti sono supplementari, ossia la somma delle loro ampiezze corrisponde a 180°
  • le diagonali si incontrano nel loro punto medio

Per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma, possono essere utilizzati diversi modi.

Uno tra questi è fornire una condizione sufficiente.
In particolare, se un quadrilatero convesso ha:

  • i lati opposti congruenti, oppure
  • gli angoli opposti congruenti, oppure
  • le diagonali che si incontrano nel loro punto medio, oppure
  • due lati opposti congruenti e paralleli

allora è un parallelogramma

Cos'è un rettangolo e quali sono le principali proprietà

Un rettangolo è, secondo la definizione, un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti.
Le sue diagonali presentano una proprietà, ossia sono congruenti.
Per questo motivo, è condizione sufficiente affinché un parallelogramma sia un rettangolo che abbia le diagonali congruenti.

Teorema sui rettangoli

In un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.

Per quanto riguarda le altezze del rettangolo, invece, esse non sono altro che distanze tra rette parallele, poiché sono segmenti perpendicolari (gli angoli del rettangolo sono tutti retti e congruenti) a due lati opposti. Le due altezze sono uguali poiché date due rette parallele, ogni punto di ciascuna retta ha la stessa distanza dall'altra.

Cos'è il rombo e quali sono le sue proprietà

Si definisce un rombo un parallelogramma avente i quattro lati congruenti. Anche nel caso del rombo le diagonali hanno delle proprietà particolari, ossia sono perpendicolari fra loro e bisettrici degli angoli.

Per comprendere se un parallelogramma sia un rombo è possibile sfruttare le condizioni sufficienti. In particolare esse sono:

  • se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, allora è un rombo
  • se un parallelogramma ha una diagonale bisettrice di un angolo, allora è un rombo

Cos'è un quadrato e quali sono le proprietà

Per definizione, un quadrato è un parallelogramma avente i quattro lati e i quattro angoli congruenti. Anche le diagonali del quadrato godono di una proprietà, ossia sono congruenti, sono perfettamente perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli.

Per comprendere se un quadrilatero possa essere un quadrato, bisogna individuare una condizione sufficiente.
In particolare, se un parallelogramma ha:

  • le diagonali risultano congruenti e perpendicolari
  • Le diagonali sono congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo

allora è un quadrato.

Cos'è un trapezio e come riconoscerlo

Si definisce trapezio un quadrilatero aventi due soli lati paralleli. Esistono diversi tipi di trapezio, ossia:

  • il trapezio isoscele, ossia un trapezio avente i lati obliqui congruenti. A questa tipologia è collegato un teorema, secondo cui in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base risultano congruenti. Vale anche il contrario, ossia se in un trapezio gli angoli adiacenti a una delle due basi sono congruenti, allora il trapezio è isoscele.
  • il trapezio rettangolo, il quale presenta uno dei due lati perpendicolare alle basi

Casi particolari di segmenti congruenti nei triangoli e nei trapezi

Si definisce fascio improprio di rette l'insieme di tutte le rette parallele a una retta data. Esiste un teorema correlato a questo concetto, ossia: dato un fascio di rette tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull'altra trasversale.

Sfruttando questo teorema è possibile ricavare alcuni casi particolari di segmenti congruenti all'interno del triangolo e del trapezio.

Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un triangolo

Se in un triangolo si congiungono i punti medi di due lati, il segmento che si ottiene è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.

Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un trapezio

In un trapezio, il segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente alla loro semisomma.

Esercizio di ricapitolazione sui quadrilateri

Non tutte le seguenti affermazioni sono vere: scopri quale o quali risultano false

  • Basta una sola condizione sufficiente vera per rendere valida un'uguaglianza
  • In un trapezio isoscele le basi sono uguali e i lati obliqui sono differenti
  • In un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è pari a metà ipotenusa.
  • se un parallelogramma ha le diagonali parallele, allora è un rombo
  • Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo, allora è un rettangolo.

Quadrilateri: definizione, classificazione e principali teoremi articolo

Soluzione dell'esercizio

La seconda e l'ultima affermazione sono sbagliate, poiché:

  • In un trapezio isoscele le basi sono differenti mentre i lati obliqui devono avere la stessa lunghezza
  • Un parallelogramma avente le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo si definisce rettangolo

Per ulteriori approfondimenti sui quadrilateri vedi anche qua

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community