In questo appunto troverai un riassunto delle proprietà e dei teoremi relativi ai quadrilateri, suddivisi per figura di riferimento.
Indice
- Cos'è il parallelogrammo e quali sono le principali proprietà
- Cos'è un rettangolo e quali sono le principali proprietà
- Cos'è il rombo e quali sono le sue proprietà
- Cos'è un quadrato e quali sono le proprietà
- Cos'è un trapezio e come riconoscerlo
- Casi particolari di segmenti congruenti nei triangoli e nei trapezi
- Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un triangolo
- Esercizio di ricapitolazione sui quadrilateri
- Soluzione dell'esercizio
Cos'è il parallelogrammo e quali sono le principali proprietà
Secondo la definizione rigorosa, si definisce parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.
Le condizioni necessarie affinché un quadrilatero si possa definire un parallelogramma sono:
- ogni diagonale del quadrilatero lo divide in due triangoli congruenti
- i lati opposti del quadrilatero sono congruenti
- gli angoli opposti sono congruenti
- gli angoli adiacenti sono supplementari, ossia la somma delle loro ampiezze corrisponde a 180°
- le diagonali si incontrano nel loro punto medio
Per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma, possono essere utilizzati diversi modi.
Uno tra questi è fornire una condizione sufficiente.
In particolare, se un quadrilatero convesso ha:
- i lati opposti congruenti, oppure
- gli angoli opposti congruenti, oppure
- le diagonali che si incontrano nel loro punto medio, oppure
- due lati opposti congruenti e paralleli
allora è un parallelogramma
Cos'è un rettangolo e quali sono le principali proprietà
Un rettangolo è, secondo la definizione, un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti.
Le sue diagonali presentano una proprietà, ossia sono congruenti.
Per questo motivo, è condizione sufficiente affinché un parallelogramma sia un rettangolo che abbia le diagonali congruenti.
Teorema sui rettangoli
In un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.
Per quanto riguarda le altezze del rettangolo, invece, esse non sono altro che distanze tra rette parallele, poiché sono segmenti perpendicolari (gli angoli del rettangolo sono tutti retti e congruenti) a due lati opposti. Le due altezze sono uguali poiché date due rette parallele, ogni punto di ciascuna retta ha la stessa distanza dall'altra.
Cos'è il rombo e quali sono le sue proprietà
Si definisce un rombo un parallelogramma avente i quattro lati congruenti. Anche nel caso del rombo le diagonali hanno delle proprietà particolari, ossia sono perpendicolari fra loro e bisettrici degli angoli.
Per comprendere se un parallelogramma sia un rombo è possibile sfruttare le condizioni sufficienti. In particolare esse sono:
- se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, allora è un rombo
- se un parallelogramma ha una diagonale bisettrice di un angolo, allora è un rombo
Cos'è un quadrato e quali sono le proprietà
Per definizione, un quadrato è un parallelogramma avente i quattro lati e i quattro angoli congruenti. Anche le diagonali del quadrato godono di una proprietà, ossia sono congruenti, sono perfettamente perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli.
Per comprendere se un quadrilatero possa essere un quadrato, bisogna individuare una condizione sufficiente.
In particolare, se un parallelogramma ha:
- le diagonali risultano congruenti e perpendicolari
- Le diagonali sono congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo
allora è un quadrato.
Cos'è un trapezio e come riconoscerlo
Si definisce trapezio un quadrilatero aventi due soli lati paralleli. Esistono diversi tipi di trapezio, ossia:
- il trapezio isoscele, ossia un trapezio avente i lati obliqui congruenti. A questa tipologia è collegato un teorema, secondo cui in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base risultano congruenti. Vale anche il contrario, ossia se in un trapezio gli angoli adiacenti a una delle due basi sono congruenti, allora il trapezio è isoscele.
- il trapezio rettangolo, il quale presenta uno dei due lati perpendicolare alle basi
Casi particolari di segmenti congruenti nei triangoli e nei trapezi
Si definisce fascio improprio di rette l'insieme di tutte le rette parallele a una retta data. Esiste un teorema correlato a questo concetto, ossia: dato un fascio di rette tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull'altra trasversale.
Sfruttando questo teorema è possibile ricavare alcuni casi particolari di segmenti congruenti all'interno del triangolo e del trapezio.
Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un triangolo
Se in un triangolo si congiungono i punti medi di due lati, il segmento che si ottiene è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.
Il segmento con estremi nei punti medi dei lati di un trapezio
In un trapezio, il segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente alla loro semisomma.
Esercizio di ricapitolazione sui quadrilateri
Non tutte le seguenti affermazioni sono vere: scopri quale o quali risultano false
- Basta una sola condizione sufficiente vera per rendere valida un'uguaglianza
- In un trapezio isoscele le basi sono uguali e i lati obliqui sono differenti
- In un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è pari a metà ipotenusa.
- se un parallelogramma ha le diagonali parallele, allora è un rombo
- Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo, allora è un rettangolo.
Soluzione dell'esercizio
La seconda e l'ultima affermazione sono sbagliate, poiché:
- In un trapezio isoscele le basi sono differenti mentre i lati obliqui devono avere la stessa lunghezza
- Un parallelogramma avente le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo si definisce rettangolo
Per ulteriori approfondimenti sui quadrilateri vedi anche qua