Classificazione dei triangoli, disuguaglianze e formulario

In questo appunto vedremo una serie di teoremi legati ai triangoli, siano essi scaleni, isosceli o equilateri. Difatti, se un triangolo è un poligono formato da tre lati e tre angoli, un insieme così vasto conterrà degli elementi altrettanto vari tra di loro. Per questa ragione esistono dei criteri secondo i quali si classificano determinati tipi di triangoli; che vedremo meglio nei paragrafi successivi.

Primo teorema dell'angolo esterno

L'enunciato del teorema è il seguente:

Vediamo ora alcune importanti conseguenze di questo teorema:

• In un triangolo qualunque la somma di due angoli interni è minore dell'angolo piatto (cioè minore di
  [math] 180^{\circ} [/math]
  .) Tale affermazione risulta vera anche se consideriamo la somma degli angoli interni di un triangolo: la somma di tutti e tre gli angoli interni è infatti pari a
  [math] 180^{\circ} [/math]
  . Da ciò segue che due addendi saranno sicuramente strettamente minori della somma totale, cioè l'angolo piatto;
• Un triangolo non può avere due angoli retti, o la somma degli angoli interni eccederebbe
  [math] 180^{\circ} [/math]
  , e questo ovviamente non è possibile;
• Un triangolo non può avere due angoli ottusi, per motivazioni analoghe al punto precedente;
• Un triangolo non può avere un angolo retto e uno ottuso, per ragioni legate alla somma degli angoli;
• Un triangolo ha almeno due angoli acuti, come conseguenza dei punti precedenti;
• Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono sempre acuti, altrimenti avremmo lo stesso assurdo di cui si parla nel secondo e nel terzo punto.

Classificazione dei triangoli

Considerando il fatto che in un triangolo qualunque ci sono almeno due angoli acuti, possiamo classificare i triangoli in base ai loro angoli:

• Un triangolo con tre angoli acuti si dice acutangolo;
• Un triangolo con un angolo ottuso si dice ottusangolo;
• Un triangolo con un angolo retto si dice rettangolo.

Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui anche i lati assumono dei nomi particolari.

In particolare, in un triangolo rettangolo, i lati adiacenti all'angolo retto si dicono cateti, mentre il lato opposto all'angolo retto si dice ipotenusa.
Un'ulteriore classificazione dei triangoli è effettuata in funzione dei lati. Un triangolo con tutti e tre i lati diversi è detto scaleno, un triangolo con due lati uguali e uno diverso è detto isoscele, altrimenti un triangolo con tutti e tre i lati è detto equilatero.

Per ulteriori generalità sui triangoli, vedi anche qua

Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo

Non tutti i triangoli hanno le stesse misure di lati e angoli. Tuttavia, in caso di disuguaglianze, è comunque possibile ottenere delle relazioni tra le misure dei lati e le misure degli angoli. Tali affermazioni sono delle doppie implicazioni, valgono sia in un verso che in un altro:

• Se un triangolo ha due lati disuguali, ha pure disuguali gli angoli ad essi opposti; in particolare, al lato maggiore è opposto l'angolo maggiore.
• Se un triangolo ha due angoli disuguali, ha pure disuguali i lati ad essi opposti; in particolare, all'angolo maggiore è opposto il lato maggiore.

Dal precedente teorema derivano due importanti proprietà dei triangoli, anche detti corollari:

• In ogni triangolo rettangolo l'ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti;
• In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all'angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati.

Disuguaglianza triangolare

Vale il seguente teorema di disuguaglianza triangolare:

Questo teorema può aiutarci a rispondere a molte domande in cui ci vengono date le misure di un triangolo e ci viene chiesto di determinare se un siffatto triangolo può esistere o meno.
Ad esempio, un triangolo con i lati di misura

perché

, quando in realtà dovrebbe essere vera la disuguaglianza opposta!

Disuguaglianza tra gli elementi di due triangoli

Consideriamo due triangoli distinti, valgono i seguenti teoremi:

• In due triangoli, aventi due lati rispettivamente congruenti e l'angolo tra essi compreso disuguale, i terzi lati sono disuguali ed è maggiore quello opposto all'angolo maggiore;
• In due triangoli, aventi due lati rispettivamente congruenti e i terzi lati disuguali, al lato maggiore è opposto l'angolo maggiore.

Esistenza e unicità

Enunciamo alcuni teoremi relativi a bisettrici, segmenti e rette, che ci assicurano l'esistenza e l'unicità di questi enti geometrici.

• Esistenza e unicità della bisettrice: Esiste sempre una e una sola semiretta che divide un angolo qualunque in due parti congruenti.
• Esistenza e unicità del punto medio di un segmento: Esiste sempre, in un segmento qualunque, un punto e uno solo che divida il segmento in due parti congruenti.
• Esistenza e unicità della perpendicolare da un punto ad una retta data: In un piano, per un punto passa una e una sola retta perpendicolare ad una retta data.

Triangolo scaleno: formule dirette e formule inverse

Nei paragrafi precedenti abbiamo già detto che un triangolo scaleno ha tutti e tre i lati diversi. Supponiamo di chiamare questi tre lati

e con

le altezze relative ai lati suddetti.
Per calcolare il perimetro di un triangolo siffatto (e per risalire ai lati a partire da esso) usiamo le formule:

Altrimenti, per calcolare invece l'area del medesimo triangolo:

da cui deriviamo le formule inverse:

e:

dove

è una qualsiasi lettera

.
Per approfondimenti sulle formule relative ai triangoli, vedi anche qua.