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Teorema degli Angoli Alla Circonferenza - Dimostrazione

Enunciato
Dato un angolo che ha un vertice sulla circonferenza (chiamato angolo alla circonferenza), definiamo angolo al centro l'angolo che ha vertice nel centro della circonferenza e insiste sullo stesso arco in cui insiste l'angolo alla circonferenza. L'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza.
Proviamo a dimostrarlo.

Dimostrazione del Teorema degli Angoli alla Circonferenza
Considero una circonferenza π di centro O. Sia ACB∠ l'angolo alla circonferenza e sia AOB∠ l'angolo al centro.
La prima osservazione che facciamo è che, per il Teorema diretto del Triangolo Isoscele, i triangoli ACO e COB sono isosceli. Essi possiedono infatti due lati congruenti, rispettivamente CO≅ OA e CO≅ OB. (poiché sono tutti e quattro raggi di π ).
Allora:
  1. OAC∠ ≅ OCA∠
  2. OCB∠ ≅ OBC∠
Ora prolunghiamo il segmento CO dalla parte di O di un segmento OH tale che OH∩ π in H.
Consideriamo il triangolo COA, AOH∠ è l'angolo esterno di COA∠. Per il Secondo Teorema dell'angolo esterno abbiamo che:
AOH∠ = CAO∠ + OCA∠ . Sarebbe la stessa cosa dire, siccome sono angoli congruenti, che AOH∠ = 2OCA∠ .
Allo stesso modo, HOB∠ è l'angolo esterno di BOC∠ . Allora HOB∠ = 2OCB∠
La tesi è che AOB∠ = 2ACB∠.
ACB∠ = OCA∠ + OCB∠
In questo caso, con il Secondo Teorema dell'angolo Esterno abbiamo dimostrato che:
AOB∠ = 2OCA∠ + 2OCB∠ .
Raccogliendo a fattor comune:
AOB∠ = 2(OCA∠ + OCB∠) = 2ACB∠
Allora si ottiene la tesi.
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