Angoli associati - Definizione e relazioni

In questo appunto vengono definiti gli angoli associati e vengono definite alcune relazioni tra tali angoli; per comprendere meglio tale argomento è prima utile ripassare brevemente le principali funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente.

Funzioni trigonometriche

Le funzioni goniometriche mettono in relazione un angolo (espresso in gradi o in radianti) e la lunghezza di alcuni elementi individuati dall’angolo considerato.
Se si considera un generico angolo α e lo si disegna nella circonferenza goniometrica (circonferenza con centro nell’origine degli assi e con raggio unitario), tale angolo individua nella circonferenza goniometrica un punto.

La funzione seno, applicata all’angolo (sin(α)), restituisce il valore dell’ordinata del punto individuato sulla circonferenza.

La funzione coseno, applicata all’angolo (cos(α)), restituisce il valore dell’ascissa del punto individuato sulla circonferenza.

La funzione tangente, applicata all’angolo (tg(α)), restituisce il valore dell’ordinata del punto di intersezione tra il vettore che definisce l’angolo considerato e la retta verticale passante per il punto sulla circonferenza goniometrica che ha y=0 e con ascissa positiva.

La funzione tangente è relazionata alla funzione seno e alla funzione coseno tramite la seguente equazione:

Dato che il seno è relazionato all’ordinata del punto e dato che il coseno è relazionato all’ascissa del punto, la funzione tangente è relazionata al rapporto tra le ordinate e le ascisse di un punto, tale rapporto corrisponde proprio alla pendenza di una retta.
La funzione tangente ci indica quindi l’inclinazione o la pendenza del vettore che individua l’angolo.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni trigonometriche vedi anche qua

Per ulteriori approfondimenti sulle ascisse e le ordinate di un punto vedi anche qua

Angoli associati (α e -α)

Gli angoli associati sono angoli ai quali corrisponde lo stesso valore di opportune funzioni trigonometriche; tali angoli individuano generalmente archi congruenti.

Gli angoli associati vengono definiti attraverso relazioni tra le funzioni trigonometriche, tali relazioni permettono di trasportare un angolo generico nel primo quadrante e in molti casi permettono di risolvere più facilmente alcune espressioni trigonometriche.

Consideriamo inizialmente la simmetria delle funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente) e proviamo a comprendere quali possono essere gli angoli associati.

Consideriamo una circonferenza goniometrica (circonferenza con centro nell’origine degli assi e con raggio unitario), tracciamo alcuni angoli in tale circonferenza e vediamo quali relazioni esistono tra gli angoli.

Consideriamo inizialmente un angolo positivo α (che si trova nel primo quadrante) e un angolo negativo -α che si trova nel quarto quadrante, sotto l’asse x.
Tali angoli sono simmetrici rispetto all’asse x e individuano due punti simmetrici rispetto all’asse x.

La funzione seno, applicata ad un angolo, ci fornisce il valore dell’ordinata del punto individuato sulla circonferenza goniometrica, si può notare come due angoli di segno opposto sono caratterizzati da ordinate uguali ma di segno opposto, si può quindi affermare che:

La funzione seno è infatti una funzione dispari (f(-x)=-f(x)), tale funzione è quindi simmetrica rispetto all’origine del piano cartesiano.

La funzione coseno, applicata ad un angolo, ci fornisce il valore dell’ascissa del punto individuato sulla circonferenza goniometrica, si può notare come due angoli di segno opposto sono caratterizzati da ascisse uguali e con lo stesso segno, si può quindi affermare che:

La funzione coseno è infatti una funzione pari (f(-x)=f(x)), tale funzione è quindi simmetrica rispetto all’asse x.

La funzione tangente ci fornisce l’ordinata del punto di intersezione tra il vettore che individua l’angolo considerato e la retta verticale passante per il punto della circonferenza con y=0 e con ascissa positiva.
La funzione tangente è relazionata all’inclinazione del vettore che individua il punto sulla circonferenza goniometrica; se si osserva il grafico di tale funzione si può notare come essa sia simmetrica rispetto all’origine degli assi, la funzione tangente è quindi una funzione dispari perciò, in analogia a quanto affermato per la funzione seno, è possibile affermare che:

Angoli associati (α e π-α)

Consideriamo ora due angoli che differiscono di π, angolo che corrisponde ad un angolo piatto; se si prova a rappresentare questi due angoli nella circonferenza goniometrica si può notare come tali due angoli sono simmetrici rispetto all’asse y, anche i punti individuati da tali angoli sulla circonferenza goniometrica risultano essere simmetrici rispetto all’asse y.

La funzione seno è relazionata al valore dell’ordinata del punto individuato sulla circonferenza goniometrica, si può notare come due angoli simmetrici rispetto all’asse y sono caratterizzati da ordinate uguali e con lo stesso segno, si può quindi affermare che:

La funzione coseno è relazionata al valore dell’ascissa del punto individuato sulla circonferenza goniometrica, si può notare come due angoli di segno opposto siano caratterizzati da ascisse uguali e di segno opposto, si può quindi affermare che:

Disegnando i due angoli nella circonferenza goniometrica è possibile notare come i corrispondenti valori della funzione tangente risultano uguali e con lo stesso segno, è possibile affermare che:

Questi ragionamenti possono essere eseguiti tra due angoli che differiscono di un angolo con ampiezze particolari come

,

Per calcolare i rispettivi angoli associati è utile seguire il ragionamento riportato nei due casi precedenti: si disegnano i due angoli nella circonferenza goniometrica e si confrontano i valori delle relative funzioni dei due angoli considerati.

Tutti i ragionamenti svolti valgono per qualsiasi valore di α.

Tutte le funzioni considerate (seno, coseno e tangente) sono caratterizzate da una periodicità di 2π, perciò, se si confronta un angolo e la somma di tale angolo con multipli di 2π, ovvero un angolo giro, si avrà che tali angoli sono caratterizzati dagli stessi valori delle funzioni perciò gli angoli considerati sono angoli associati.