Numero Pi Greco

In questo appunto di matematica si definisce il numero irrazionale pi-greco e la sua origine.

Definizione del numero PiGreco

Il numero Pi Greco,

, è una costante matematica che è strettamente legata alla circonferenza, poiché definita come il rapporto tra il perimetro del cerchio (lunghezza della circonferenza) ed il suo diametro:
sapendo che

si ha che

Un altro modo per definire tale numero è usando l’espressione dell'area di un cerchio di raggio unitario; l'area del cerchio infatti è definita come

dove

e da cui si ricava

Qualunque sia la circonferenza che si consideri, il valore di Pi Greco sarà sempre lo stesso.
Ci sono molte altre definizioni e metodi alternativi per ottenere il valore del numero Pi Greco ed è possibile calcolarne il valore con metodi sperimentali, ma in ogni caso non è possibile calcolare il valore preciso di questa costante.

Il Pi Greco, infatti, è un numero irrazionale, che quindi non può essere scritto in forma di nessuna frazione, ed è costituito da una sequenza infinita di cifre indefinita, della quale possiamo soltanto avere un'approssimazione.
Il problema diventa quindi scegliere un'approssimazione opportuna.
Il valore di π con le prime cinquanta cifre decimali esatte è dato da:

Storia di un numero

Il numero Pi Greco ha origini lontanissime nel tempo.
Fin dai tempi antichi l’uomo noto che tutti i cerchi sono simili, cioè le lunghezze di circonferenza e diametro sono in uguale proporzione.
Probabilmente fu scelta come lettera

, in quanto è la lettera iniziale della parola greca "περίμετρος " , che si può tradurre in italiano con perimetro. I primi a calcolare il valore di tale numero furono i babilonese, che non solo conoscevano il valore di questo numero ma ci hanno tramandato anche una regola per calcolarlo. Tale metodo è scritto nella tavoletta 7302 della Yale Babylonian Collection rinvenuta a Susa che risale agli anni 1750 a.C.
Il loro metodo si basa nell’inscrivere in un cerchio un esagono i cui lati sono la metà esatta del diametro del cerchio:

e quindi uguali al raggio r del cerchio.
I Babilonesi sapevano che il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro è uguale a una costante (che noi chiamiamo

):

Calcolando quindi il rapporto tra la circonferenza e il perimetro dell’esagono (E = 6r) trovarono che:

Inoltre i Babilonesi sapevano anche calcolare il rapporto approssimato tra il lato dell’esagono e la corda che quel lato definisce sul cerchio:

quindi

da cui

Il papiro di Rhind

La più antica documentazione ci è stata fornita nel 1650 a.C. da uno scriba Egizio.
Gli Egizi avevano capito che il rapporto

rimane costante.
Secondo il Papiro di Rhind, inoltre, gli Egizi avevano fatto un primo tentativo di quadrare il cerchio, per attribuire un valore al numero \pi.
Tale papiro che ha le dimensioni di circa 33 cm per 3 m, deve il suo nome all’antiquario scozzese Henry Rhind che lo acquistò nel 1858 a Luxor ed è oggi conservato al British Museum. E’ noto anche come papiro di Ahmes dal nome dello scriba che lo trascrisse verso il 1650 a.C..
In tale documento si riporta il seguente calcolo.
Dato un cerchio con diametro D = 9u e un quadrato di lato l = 8u (dove u = unità) si ha che l’area del cerchio è data da:

dove R è il raggio del cerchio, quindi

da cui

L’area del quadrato è data da:

Imponendo

si ottiene che

quindi

da cui possiamo ricavare il valore di \pi:

Archimede ed i suoi cerchi

I Greci cercarono di determinare il valore del Pi Greco con il metodo di esaustione:
un procedimento utile per calcolare le aree di varie figure geometriche piane.
Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data.
L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.
La parola “esaustione” deriva proprio dal verbo esaurire.
Si calcolano le aree di un poligono inscritto e di un poligono circoscritto e si ipotizza che l’area del cerchio sia compresa tra le aree di questi due poligoni, calcolando così il limite inferiore e superiore.
Il primo calcolo teorico del valore di \pi sembra comunque essere quello di Archimede di Siracusa (282-212 a.C.); egli ottenne l’approssimazione:

che, per la prima volta, fornisce una stima sia per eccesso che per difetto del valore corretto, con un errore di circa 0.00026 sul valore medio.
Archimede sapeva quindi di non conoscere il valore esatto di

, ma forniva comunque un intervallo di valori (piuttosto ristretto) entro cui esso doveva stare.
Si doveva approssimare la lunghezza della circonferenza mediante i perimetri di poligoni (regolari) inscritti e circoscritti; più il numero dei lati è grande, maggiore sarà la precisione della stima.

Pi Greco oggi

Oggi noi sappiamo che \pi non è un numero razionale (Lambert, 1761) e quindi nè decimale finito, nè scrivibile in termini di frazione; sappiamo pure che è trascendente (Lindemann,1882), ovvero non è soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti razionali (come era ad esempio \sqrt{2}).
Tutto ciò chiude il famoso problema della quadratura del cerchio, ovvero dichiara impossibile poter disegnare con un numero finito di operazioni con riga e compasso il lato di un quadrato la cui area sia equivalente a quella di un dato cerchio; problema che aveva a lungo assillato gli antichi Greci e molti dopo di loro in epoche più recenti.

Le cifre del numero Pi Greco

Nel 1947 Ferguson, con l’aiuto di una delle prime calcolatrici da tavolo, aveva trovato 808 cifre di \pi.
Nel 1948 Smith e Wrench trovarono la millesima cifra decimale.
Nel 1949 G. Reitwiesner, J. von Neumann e N.C. Metropolis usarono il computer Eniac, con 19.000 valvole e centinaia di migliaia di resistori e capacitori, per calcolare 2037 cifre. Questo calcolo richiese solo settanta ore con una media di una cifra ogni due minuti.
Con l’avvento dei computer elettronici, nel 1954, si potè calcolare 3089 cifre in soli tredici minuti (circa 4 cifre al secondo).
Nel 1958 le prime 704 cifre in soli 40 secondi, le prime 10.000 cifre in un’ora e quaranta minuti.
Nel 1961 con un Ibm 7090 furono trovate 100.265 cifre con un tempo medio di 3 cifre al secondo. Nel 1973 J. Guilloud e M. Bouyer trovarono la milionesima cifra.
Nel 1982 si trovò il valore di \pi fino all’8388608-esimo decimale in poco meno di sette ore.
La combinazione di computer sempre più potenti e dell’algoritmo di GaussBrent-Salamin hanno lanciato i calcoli di \pi verso altezze stratosferiche.
Nel 1997 Kanada e Takahashi hanno calcolato e verificato più di 51 miliardi di cifre decimali di \pi e, nel 2003, lo stesso Kanasa ha calcolato 1.241.100.000.000 cifre, utilizzando 64 computer Hitachi SR8000/MPP, in più di 600 ore.
Il 14 Marzo è la giornata mondiale del Pi Greco.

per ulteriori approfondimenti sul Pi Greco vedi anche qua