Equazioni algebriche

L'equazione algebrica è un'uguaglianza tra 2 espressioni algebriche contenenti una o più incognite verificata da particolari valori attribuiti alle incognite.
Si chiama identità se l'uguaglianza è soddisfatta per qualunque valore dato alle incognite che in essa compaiono.
Per soluzione di una equazione si intende ogni numero che sostituito all'incognita fa assumere al 1° membro lo stesso valore del 2°.
Sulla base di questa definizione possiamo distinguere diversi tipi di equazioni; vediamo anche degli esempi per ogni tipo:

• EQUAZIONE IMPOSSIBILE: non ha soluzioni.
Ad esempio, l'equazione
[math] x^2 = -4 [/math]
è impossibile nei reali, non esiste infatti nessun numero reale che elevato al quadrato faccia -4, siccome il quadrato è sempre positivo.

• EQUAZIONE DETERMINATA: contiene un numero finito di valori.
  Consideriamo l'equazione
  [math] 2x-4 = 0 [/math]
  , tale equazione ha come soluzione
  [math] x = 2 [/math]
  , e in effetti è l'unica perché non esistono altri numeri reali il cui doppio sottratto a 4 faccia 0. Trattasi quindi di un'equazione determinata.
• EQUAZIONE INDETERMINATA: contiene un numero infinito di soluzioni.
  L'equazione
  [math] x = x [/math]
  è indeterminata, in effetti tutti i numeri sono uguali a loro stessi! Quindi questa è un'equazione con infinite soluzioni, ergo indeterminata.
• EQUAZIONE EQUIVALENTE: hanno lo stesso insieme di soluzioni.
  Consideriamo le equazioni
  [math] 2x-4 = 0 [/math]
  e
  [math] x-2 = 0 [/math]
  . Esse sono equivalenti perché sono entrambe determinate e hanno come unica soluzione comune
  [math] x = 2 [/math]
  . A questa conclusione si poteva giungere anche notando che la seconda equazione è uguale alla prima a meno di un fattore 2!
  Questo significa che moltiplicando un'equazione per un fattore non nullo si ottiene un'altra equazione, equivalente a quella data!