Pillaus di Pillaus
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Il numero π

Consideriamo una circonferenza di raggio R. Siano AB ed FE rispettivamente il lato di un poligono regolare inscritto di n lati ed il lato di un poligono regolare circoscritto di n lati. Siano AOB ed FOE uno degli n triangoli in cui resta suddiviso il poligono se si congiunge il centro O con i suoi vertici. Sia CD il diametro perpendicolare ad AB .

Considerato che l'angolo ne segue che l'angolo e quindi la corda DB è il lato di un poligono regolare inscritto di 2n lati. Se AB = ln, DB = l2n e FE = Ln sono le misure dei lati, OH = an e OD = An le misure degli apotemi, sussistono le relazioni:

(1)  

(2)  

Infatti: applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHB otteniamo:

Per il 1° teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo DCB possiamo scrivere DB2 = DC DH ed essendo DH = OD – OH ne segue che:

(3)  

Sostituendo nella (3) le misure si ottiene:

I triangoli isosceli AOB ed FOE, avendo in comune l'angolo al vertice AÔB sono simile e pertanto il rapporto tra le basi è uguale al rapporto fra le altezze relative:


e passando alle misure

e quindi la (2).

Le formule trovate permettono di avere una approssimazione per difetto e per eccesso di π. Partendo dal lato del quadrato inscritto si possono avere il lato dell'ottagono regolare inscritto e circoscritto, da quello dell'ottagono, quello dell'esadecagono, ecc. e scoprire che le formule hanno una certa ricorrenza che permette di ricavare le formule successive per induzione.



e con questo si può concludere che il lato successivo avrà una in più aggiunta al radicando della radice più interna. Per i lati dei poligoni circoscritti ottenuti tramite la (2) si hanno le stesse ricorrenze:



Data la peculiarità delle formule è facile mettere a punto un piccolo programma in Turbo Pascal per il calcolo:

    1 REM PROGRAMMA IN TURBO BASIC PER IL CALCOLO DI PIGRECO
    10 CLS
    20 WIDTH "LPT1:",255
    30 LPRINT CHR$(15);
    40 LPRINT "NUMERO DEI LATI","PERIMETRO POLIGONO INSCRITTO","PERIMETRO POLIGONO CIRCOSCRITTO","DIFFERENZA"
    50 LPRINT
    60 DEFDBL A-H,L-Z
    70 G1=0#:H1=5#
    80 INPUT "IL NUMERO DI LATI E'2 ELEVATO A N,N=",N
    90 A=0#
    100 FOR I=2 TO N
    110 IF I120 GOSUB 270
    130 D=SQR(2#-A)
    140 E=SQR(2#+A)
    150 F=D/E
    160 G=2#^(I-1)*D
    170 H=2#^(I)*F
    180 L=H-G
    190 X=2#^I
    200 IF G>G1# AND H

    210 G1#=G:H1#=H
    220 LPRINT TAB(2)X TAB(30)G;"*2R"TAB(75)H;"*2R"TAB(112):LPRINT USING "#.###############";L,:LPRINT "*2R"
    230 LPRINT
    240 NEXT I
    250 LPRINT TAB(35)"Valore di pigreco a 15 cifre decimali = ";3.141592653589793
    260 END
    270 A=SQR(2#+A)
    280 RETURN

n lati2P poligono inscritto2P poligono circoscrittoDifferenza
42,8284272474,0000000001,171572753
83,0614674593,3137084990,252241040
163,1214451523,1825978780,061152726
323,1365484913,1517249070,015176417
643,1403311573,1441183850,003787228
1283,1412772513,1422236300,000946379
2563,1415138013,1417503690,000236568
5123,1415729403,1416320810,000059140
10243,1415877253,1416025100,000014785
20483,1415914223,1415951180,000003696
40963,1415923463,1415932700,000000924
81923,1415925773,1415928080,000000231
163843,1415926333,1415926910,000000058
327683,1415926453,1415926600,000000014
Valore di π a 9 cifre decimali = 3,141592654
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