Il numero π

Consideriamo una circonferenza di raggio R. Siano AB ed FE rispettivamente il lato di un poligono regolare inscritto di n lati ed il lato di un poligono regolare circoscritto di n lati. Siano AOB ed FOE uno degli n triangoli in cui resta suddiviso il poligono se si congiunge il centro O con i suoi vertici. Sia CD il diametro perpendicolare ad AB .

Considerato che l'angolo ne segue che l'angolo e quindi la corda DB è il lato di un poligono regolare inscritto di 2n lati.

Se AB = l_n, DB = l_2n e FE = L_n sono le misure dei lati, OH = a_n e OD = A_n le misure degli apotemi, sussistono le relazioni:

(1)  

(2)  

Infatti: applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHB otteniamo:

Per il 1° teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo DCB possiamo scrivere DB² = DC DH ed essendo DH = OD – OH ne segue che:

(3)  

Sostituendo nella (3) le misure si ottiene:

I triangoli isosceli AOB ed FOE, avendo in comune l'angolo al vertice AÔB sono simile e pertanto il rapporto tra le basi è uguale al rapporto fra le altezze relative:

e passando alle misure

e quindi la (2).

Le formule trovate permettono di avere una approssimazione per difetto e per eccesso di π. Partendo dal lato del quadrato inscritto si possono avere il lato dell'ottagono regolare inscritto e circoscritto, da quello dell'ottagono, quello dell'esadecagono, ecc. e scoprire che le formule hanno una certa ricorrenza che permette di ricavare le formule successive per induzione.

e con questo si può concludere che il lato successivo avrà una in più aggiunta al radicando della radice più interna. Per i lati dei poligoni circoscritti ottenuti tramite la (2) si hanno le stesse ricorrenze:

Data la peculiarità delle formule è facile mettere a punto un piccolo programma in Turbo Pascal per il calcolo:

1 REM PROGRAMMA IN TURBO BASIC PER IL CALCOLO DI PIGRECO
10 CLS
20 WIDTH "LPT1:",255
30 LPRINT CHR$(15);
40 LPRINT "NUMERO DEI LATI","PERIMETRO POLIGONO INSCRITTO","PERIMETRO POLIGONO CIRCOSCRITTO","DIFFERENZA"
50 LPRINT
60 DEFDBL A-H,L-Z
70 G1=0#:H1=5#
80 INPUT "IL NUMERO DI LATI E'2 ELEVATO A N,N=",N
90 A=0#
100 FOR I=2 TO N
110 IF I120 GOSUB 270
130 D=SQR(2#-A)
140 E=SQR(2#+A)
150 F=D/E
160 G=2#^(I-1)*D
170 H=2#^(I)*F
180 L=H-G
190 X=2#^I
200 IF G>G1# AND H

210 G1#=G:H1#=H
220 LPRINT TAB(2)X TAB(30)G;"*2R"TAB(75)H;"*2R"TAB(112):LPRINT USING "#.###############";L,:LPRINT "*2R"
230 LPRINT
240 NEXT I
250 LPRINT TAB(35)"Valore di pigreco a 15 cifre decimali = ";3.141592653589793
260 END
270 A=SQR(2#+A)
280 RETURN

n lati	2P poligono inscritto	2P poligono circoscritto	Differenza
4	2,828427247	4,000000000	1,171572753
8	3,061467459	3,313708499	0,252241040
16	3,121445152	3,182597878	0,061152726
32	3,136548491	3,151724907	0,015176417
64	3,140331157	3,144118385	0,003787228
128	3,141277251	3,142223630	0,000946379
256	3,141513801	3,141750369	0,000236568
512	3,141572940	3,141632081	0,000059140
1024	3,141587725	3,141602510	0,000014785
2048	3,141591422	3,141595118	0,000003696
4096	3,141592346	3,141593270	0,000000924
8192	3,141592577	3,141592808	0,000000231
16384	3,141592633	3,141592691	0,000000058
32768	3,141592645	3,141592660	0,000000014
Valore di π a 9 cifre decimali = 3,141592654