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Il numero e

Consideriamo la successione:

che presenta un limite della forma indeterminata

[math]1^{∞}[/math]
. Dobbiamo dimostrare che:

L'immagine rappresenta la funzione esponenziale, evidenziando il numero di Nepero e la sua definizione analitica.

Proviamo innanzitutto che la (1) è sempre crescente, cioè che risulta

L'immagine rappresenta la funzione esponenziale, descrivendo il numero di Nepero e la sua importanza in matematica.

Infatti applicando la formula di Newton

L'immagine rappresenta la funzione esponenziale, definita come \( e^x \), basata sul numero di Nepero.

avremo:

L'immagine mostra la definizione analitica del numero di Nepero e la sua espressione in serie.

Quindi:

L'immagine rappresenta la definizione analitica del numero di Nepero, noto come esponenziale, fondamentale in matematica.

Per trovare lo sviluppo di Il numero e, o esponenziale, è una costante matematica fondamentale, approssimativamente pari a 2,718. basta porre n+1 al posto di n nella (3).

L'immagine rappresenta la definizione analitica del numero di Nepero, la base degli esponenziali.

Dal confronto delle (3) e (4) si dimostra la (2). Infatti:

1. Le somme hanno entrambe 2 come primo termine e gli altri termini tutti positivi;
2. Ogni termine della somma della (4),eccetto il primo, è maggiore del termine di egual posto della (3);
3. La (4) ha un termine in più della (3);

Dimostriamo adesso che la (1) è limitata. È limitata inferiormente poiché, per quanto visto sopra, il primo elemento della (1) è minimo per la (1) stessa.
Per dimostrare che è limitata superiormente faremo vedere che esiste una successione maggiorante della (1) limitata.

Osservando che per ogni naturale k > 2 risulta

L'immagine rappresenta la funzione esponenziale, indicando il numero di Nepero, essenziale in matematica e logaritmi.k!

essendo L'immagine rappresenta il numero di Nepero, fondamentale nell'analisi esponenziale e nelle matematiche avanzate., che:

L'immagine rappresenta il numero di Nepero, simbolo di crescita esponenziale in matematica e nelle scienze.

L'immagine rappresenta la funzione esponenziale \(e^x\), fondamentale in analisi matematica e nelle applicazioni scientifiche.> 2

e quindi L'immagine rappresenta la funzione esponenziale \(e^x\), fondamentale in analisi matematica e nelle applicazioni scientifiche. essendo la (1) sempre crescente.

Pertanto la (1), essendo sempre crescente e limitata, sarà convergente e poiché abbiamo dimostrato che:

Immagine che rappresenta la definizione analitica dell'esponenziale, con il numero di Nepero come base. Ideale per spiegazioni matematiche.

si avrà, per il teorema del confronto,

Il numero di Nepero, noto come e, rappresenta la base dei logaritmi naturali, fondamentale in analisi matematica.

Una rappresentazione grafica rende l'idea di come la successione (1) rimanga "imbrigliata" fra le due successioni al crescere di n.

Grafico con tre curve che mostra il comportamento dell'esponenziale e la convergenza verso valori stabili nel tempo.

Unità didattica per la 5ª classe del liceo scientifico

Base di conoscenza:

- Formula di Newton;
- Somma dei termini di una progressione geometrica;
- Concetto di successione;
- Convergenza di una successione;
- Teorema del confronto.

Immagine che rappresenta il numero e (circa 2,718) e la sua definizione analitica in forma esponenziale.

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