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Sintesi
In questo appunto di matematica si definisce il concetto di limite di una funzione e si definiscono i vari tipi di limiti esistenti per una funzione.



Il concetto di limite


Il concetto di limite di funzione nasce al fine di studiare il comportamento delle stesse funzioni in punti in cui esse non sono definite oppure per valori delle x (variabile indipendente) non assegnabili, ma allo stesso tempo facenti parte del campo di esistenza della funzione oggetto di studio. L’operazione del calcolo del limite ci permette di stimare il valore della funzione per quei valori della variabile indipendente che non può essere assegnata nella funzione stessa.
Quando studiamo una funzione, cercando di ricavarne il grafico, è fondamentale stabilire il suo campo di esistenza, ossia l’insieme delle variabili indipendenti assegnabili alla funzione. Se il dominio di una funzione è tutto l’insieme dei numeri reali,
[math]
\mathbb{R}
[/math]
, per studiare il comportamento della funzione nei punti estremi del suo dominio (ossia a più infinito ed a meno infinito) è necessario effettuare l’operazione di limite per valori della x che tende a tali estremi.
Se il campo di esistenza della funzione stessa richiede che alcuni valori della x vengano esclusi, dovrà essere eseguita l’operazione di limite in questi punti (limite destro e limite sinistro) al fini di valutare il comportamento della funzione.
In matematica si utilizzano i limiti per studiare il comportamento delle funzioni.
Per esempio nella funzione
[math]y=\frac{1}{x-1}[/math]


con dominio
[math]D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}[/math]
ci si può porre la domanda di come si comporti la funzione nell’intorno del valore 1.
Che valore assuma la funzione vicino a 1?
Con il limite si studia il comportamento della funzione non nel punto 1, ma vicino ad esso.
I limiti di funzioni possono essere raggruppati in categorie precise che li classificano in base al valore cui tende la x ed al valore che assume il limite stesso:

  • [math]
    \lim_{x\to x_0}f(x)=l;
    [/math]

  • [math]
    \lim_{x\to x_0}f(x) = \infty;
    [/math]

  • [math]
    \lim_{x\to\infty}f(x) = l;
    [/math]

  • [math]
    \lim_{x\to \infty}f(x) = \infty,
    [/math]


dove
[math]
x_0
[/math]
ed
[math]
l
[/math]
sono numeri finiti.


Limite finito per x tendente ad un valore finito


Consideriamo la funzione:
[math]y=f(x)=\frac{3x^2-8x+4}{x-2}[/math]
, con
[math]D(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}[/math]
. La funzione esiste solo per
[math]x\not= 2[/math]
in quanto se
[math]x=2[/math]
si ha
[math]y=0/0[/math]
.
E' possibile però sostituire alla x valori poco più piccoli e poco più grandi di 2 e vedere come si comporta la funzione:

[math]\begin{array}{|c|c|}
x & y\\ \hline
1,5 & 2,5\\ \hline
1,6 & 2,8\\ \hline
1,7 & 3,1\\ \hline
1,8 & 3,4\\ \hline
1,9 & 3,7\\ \hline
1,93 & 3,79\\ \hline
1,96 & 3,88\\ \hline
1,99 & 3,97\\ \hline
1,999 & 3,997\\ \hline
2,001 & 4,003\\ \hline
2,02 & 4,06\\ \hline
2,05 & 4,15\\ \hline
2,07 & 4,21\\ \hline
2,1 & 4,3\\ \hline
2,21 & 4,63\\ \hline
2,35 & 5,05\\ \hline
2,4 & 5,2\\ \hline
2,5 & 5,5\\ \hline
\end{array}[/math]



Notiamo che, avvicinandoci a
[math]x=2[/math]
, il valore di
[math]y[/math]
si avvicina a 4. Nell’avvicinarsi a 4, l’intorno completo di 2 è sempre più piccolo (da 1 a 0,02). La differenza tra la funzione e il valore 4 è sempre minore, così che si può affermare che:


[math]|\frac{3x^2-8x-4}{x-2}-4|<\epsilon[/math]



(si ricordi che
[math]|f(x)|<k\ \Leftrightarrow\ -k< f(x)< k[/math]
). Risolvendo la disequazione precedente rispetto a
[math]x[/math]
si trova
[math]2-\frac{\epsilon}{3}< x< 2+\frac{\epsilon}{3}[/math]
che è l'intorno di 2 all'interno del quale cadono i punti
[math]x[/math]
.
[math]\frac{\epsilon}{3}=\delta_\epsilon[/math]
è detto raggio dell’intorno
In questo caso si dice che la funzione
[math]f(x)[/math]
, per x tendente a
[math]x_0[/math]
, ha per limite il numero
[math]l[/math]
, e si scrive:
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l\in\mathbb{R}[/math]
quando in corrispondenza di un arbitrario numero positivo,
[math]\epsilon[/math]
, si può sempre determinare un intorno completo
[math]I_{\delta_\epsilon}(x_0)=(x_0-\delta_\epsilon,x_0+\delta_\epsilon)[/math]
del punto
[math]x_0[/math]
tale che, per tutti i valori di x che cadono in
[math]I_{\delta_\epsilon}(x_0)[/math]
, escluso
[math]x_0[/math]
, risulti soddisfatta la relazione

[math]|f(x)-l|<\epsilon\ \Leftrightarrow\ l-\epsilon < f(x) < l+\epsilon[/math]


La definizione formale risulta

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ \forall\ x\ |\ 0<|x-x_0|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-l|<\epsilon[/math]



Limite infinito per x tendente ad un valore finito


É il caso in cui
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty[/math]
. Torniamo al primo esempio:
[math]y=f(x)=\frac{1}{x-1},\ D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}[/math]
. Il valore
[math]
x =1
[/math]
è il punto di accumulazione. Si definisce quindi l’intorno di x=1:

[math]\begin{array}{|c|}
x\to 1^+\\ \hline
\begin{array}{c|c}
1,3 & 3,33\\ \hline
1,1 & 10\\ \hline
1,001 & 1000\\ \hline
1,0001 & 10000
\end{array}\\ \hline
\end{array}\qquad \begin{array}{|c|}
x\to 1^-\\ \hline
\begin{array}{c|c}
0,7 & -3,33\\ \hline
0,9 & -10\\ \hline
0,999 & -1000\\ \hline
0,9999 & -10000
\end{array}\\ \hline
\end{array}[/math]



Nel primo caso,
[math]x\to 1^+[/math]
, la y assume dei valori sempre maggiori crescendo molto rapidamente. Nel secondo caso,
[math]x\to 1^-[/math]
, la y aumenta in modo analogo ma con valore negativo. Il grafico corrispondente mostra un’iperbole equilatera che ha come asintoti
[math]x=1, y=0[/math]
. Dal grafico si nota anche che, mano mano ci si avvicina a 1 da destra, la
[math]y[/math]
assume il valore
[math]-\infty[/math]
. Dire che
[math]y[/math]
assume un valore prossimo a
[math]-\infty[/math]
equivale ad affermare che
[math]f(x)< -M[/math]
per
[math]M>0[/math]
qualsiasi, man mano che
[math]x\to 1^-[/math]
. Quindi:


[math]\forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ :\ \forall\ x\ | 0<|x-x_0 |<\delta_M\ \Rightarrow\ |f(x)|> M[/math]



(si ricordi che
[math]|f(x)|> M\ \Leftrightarrow\ f(x)>M\ \vee\ f(x)< -M[/math]
).

Risolvendo la condizione sulla funzione, otteniamo la soluzione
[math]1-\frac{1}{M} < x < 1+\frac{1}{M}[/math]
, che permette di determinare l'intorno di x voluto, con
[math]\delta_M=\frac{1}{M}[/math]
.


Limite finito per x tendente ad infinito


E' il caso in cui
[math]\lim_{x\to\infty}f(x)=l\in\mathbb{R}[/math]
. Consideriamo per esempio
[math]y=f(x)=\frac{x+1}{x}[/math]
, con
[math]D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/math]
.
Studiamo il comportamento della funzione quando
[math]x\to\pm\infty[/math]
:

[math]\begin{array}{|c|}
x\to+\infty\\ \hline
\begin{array}{c|c}
10 & 1,1\\ \hline 100 & 1,01\\ \hline 1000 & 1,001\\ \hline 10000 & 1,0001\\ \hline 100000 & 1,00001
\end{array}\\ \hline
\end{array}\qquad \begin{array}{|c|}
x\to-\infty\\ \hline
\begin{array}{c|c}
-10 & 0,9\\ \hline -100 & 0,99\\ \hline -1000 & 0,999\\ \hline -10000 & 0,9999\\ \hline -100000 & 0,99999
\end{array}\\ \hline
\end{array}[/math]



Quindi al crescere della x, la y si avvicina a 1, e anche al diminuire della x, la y si avvicina a 1.
Ovvero:

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists M_\epsilon>0\ :\ \forall\ x\ |\ |x| > M_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-l|<\epsilon[/math]


Risolvendo la disequazione
[math]\left|\frac{x+1}{x}-1\right|<\epsilon[/math]
ricaviamo la soluzione
[math]x<-\frac{1}{\epsilon},\ x>\frac{1}{\epsilon}[/math]
e cioè
[math]|x|>\frac{1}{\epsilon}[/math]
che permette di determinare l'intorno cercato, con
[math]M_\epsilon=\frac{1}{\epsilon}[/math]
.


Limite infinito per x tendente ad infinito


E' il caso in cui
[math]\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty[/math]
. Ad esempio, se
[math]y=x^3[/math]
, si osserva che per
[math]x\to\pm\infty[/math]
la funzione assume valori sempre più grandi (in modulo) e di segno positivo o negativo a seconda del valore dell'infinito considerato. Possiamo scrivere quindi

[math]\forall\ M>0\ \exists\ N_M>0\ :\ \forall\ x\ |\ |x|>N_M\ \Rightarrow\ |f(x)|>M[/math]


Risolvendo per il caso in esame
[math]|x^3|>M[/math]
si ricava
[math]x<-\sqrt[3]{M},\ x>\sqrt[3]{M}[/math]
, ovvero
[math]|x|>\sqrt[3]{M}[/math]
, per cui si ricava l'intorno cercato ponendo
[math]N_M=\sqrt[3]{M}[/math]
.



Teoremi sui limiti


Di seguito vengono riportati tre importanti teoremi sui limiti:

  • Teorema dell’unicità del limite;

  • Teorema della permanenza del segno;

  • Teorema del confronto.


Il Teorema dell’unicità del limite afferma che se una funzione
[math]
f(x)
[/math]
ammette limite, l, per x tendente ad
[math]
x_0
[/math]
(con l ed
[math]
x_0
[/math]
che possono assumere anche valore infinito), tale limite è unici.
Il Teorema della permanenza del segno afferma che se per x tendente al numero
[math]
x_0
[/math]
, la funzione
[math]
f(x)
[/math]
tende ad un limite finito l non nullo, allora esiste un intorno del punto
[math]
x_0
[/math]
, per cui per ogni x di tale intorno, escluso al più
[math]
x_0
[/math]
, la funzione
[math]
f(x)
[/math]
assume valori dello stesso segno del suo limite.
Il Teorema del confronto afferma che date le funzioni
[math]
f(x)
[/math]
,
[math]
g(x)
[/math]
ed
[math]
h(x)
[/math]
definite nello stesso intervallo, escluso al più un punto
[math]
x_0
[/math]
e se per ogni x risulta:
[math]
f(x) \le h(x) \le g(x)
[/math]


e che
[math]
\lim_{x\to x_0}f(x)= \lim_{x\to x_0}g(x)= l
[/math]


allora risulta anche
[math]
\lim_{x\to x_0}h(x)=l.
[/math]


per ulteriori approfondimenti sulle operazioni con i limiti vedi anche qua
Estratto del documento

I LIMITI

Il concetto di limite nacque in fisica per definire un intervallo di tempo molto piccolo. Per

calcolare la velocità istantanea, infatti, bisogna considerare intervalli di tempo sempre più

piccoli, arrivando quasi a far coincidere due punti (per

esempio, A con B). In questo caso, Δt tende a 0 senza mai

arrivare però a toccarlo, quindi:

∆s =

lim v

⃗

∆t

Δt→ 0

“0” rappresenta il punto di accumulazione.

In matematica si utilizzano i limiti per studiare il comportamento delle funzioni. Per

1 { }

=R−

D 1

y=

esempio nella funzione con dominio ci si può porre la domanda

(f )

x−1

di come si comporti la funzione nell’intorno del valore 1. Che valore assuma la funzione

vicino a 1?

1

lim Con il limite si studia il comportamento della funzione non nel punto 1, ma

x−1

x→ 1

vicino ad esso.

Facciamo un altro esempio:

2 −8

3 x x+ 4 { } x ≠ 2

=R− La funzione esiste solo per in quanto se

y= D 2

(f )

−2

x 0

x=2, y= x

. É possibile però sostituire alla valori poco più piccoli e poco più grandi

0

di 2 e vedere come si comporta la funzione:

x 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,93 1,96 1,99 1,999

y 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 3,79 3,88 3,97 3,997

x 2,5 2,4 2,35 2,21 2,1 2,07 2,05 2,02 2,001

y 5,5 5,2 5,05 4,63 4,3 4,21 4,15 4,06 4,003

x=2 y

Notiamo che, avvicinandoci a , tende a 4. Nell’avvicinarsi a 4, l’intorno

completo di 2 è sempre più piccolo (da 1 a 0,02). La differenza tra la funzione e il valore 4

è sempre minore, così che si può affermare che:

| | {

2 −8

3 x x−4 (x )<k

f

| | ⇒

−4 <ε (x) <

f k

−2

x ( )>−k

f x

| |

2 −8

3 x x−4 +ε

4

−4 è la differenza (distanza tra due punti) tra e 4. In questo modo

−2

x

si ottiene la distanza tra 2 e il suo intorno:

si può chiamare δ

{ | |

2 −8

3 x x−4 −4 < ε ε ε

x−2 ⇒ < <2+

2− x

| | 3 3

2 −8

3 x x−4 −4 >−ε

in questa limitazione si trova la x

x−2

Questi sono i limiti di x. Si può scegliere ε a seconda di quanto ci si vuole avvicinare a

y=4 .

ε =δ =¿ raggio dell’intorno

3

LIMITE FINITO PER x TENDENTE AD UN VALORE FINITO

Non è altro che il caso mostrato nell’esempio precedente. l

Si dice che la funzione f(x), per x tendente a x , ha per limite il numero , e si scrive:

0

( )=l(l ∈

lim f x R) quando in corrispondenza di un arbitrario numero positivo, ε, si può

x → x 0

sempre determinare un intorno completo δ del punto x tale che, per tutti i valori di x che

0

appartengono all’intervallo [a, b] e cadono in δ, escluso eventualmente x , risulti

0

soddisfatta la disequazione.

| |

( )−l ( )<

<

f x ε l−ε< f x l+ ε

ovvero le disequazioni

Scritto in simboli diventa:

| |

( ) ( ) ( ) ( )

∀ ∃ ∀ ⇒

>0 >0 < −δ < < +

ε δ ε : x : x− x δ ε x ε x x δ ε

0 0 0

Quindi:

| | ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⇒−f ⇒

<δ < < −δ < +

x−x ε ε x−x f ε x ε x< x δ ε

0 0 0 0

LIMITE INFINITO PER x TENDENTE AD UN VALORE FINITO

( )=∞

lim f x

É il caso in cui x → x 0 1 { }

=R−

y= D 1

Torniamo al primissimo esempio: (f )

x−1 x=1

“1” è il punto di accumulazione. Si definisce quindi l’intorno di :

+¿ x 1,3 1,1 1,001 1,0001

x → 1

¿

lim y 3,33 10 1000 10000

¿ x 0,7 0,9 0,997 0,9999

−¿

x→ 1 -

¿

lim y -3,33 -10 -10000

333,33

¿ +

Nel primo caso, 1 , la y assume dei valori sempre maggiori

-

crescendo molto rapidamente. Nel secondo caso, 1 , la y

aumenta in modo analogo ma con valore negativo. Il grafico

corrispondente mostra un’iperbole equilatera che ha come

x=1 y=0

asintoti e . Dal grafico si nota anche che,

−∞

mano mano ci si avvicina a 1 da destra, la y tende a .

Non si può in questo caso determinare l’intorno di questo

∞

valore perchè non è un numero. Ma dire che f(x) tende a

∞ , significa dire che diventa maggiore di un numero molto

x=1

grande (M) preso a piacere nell’intorno della .

Quindi: | |

| |

( )> ( )

∀ ∈ ⇒

> < ( ) >

M 0∃ δ M 0 :∀ x x−x δ M f x M

0

| | ( )> ( )←

∪

( > f x M f x M

f x) M è come dire

Dal grafico si nota anche che in un intorno di 1 esiste una x a cui corrisponde un y. Tale x

si determina:

| | 1 1

1 ⊛ ⊗

∪

> ←

> M M

M da cui x−1 x−1

x−1 (X−1)

1−M 1−Mx+ M

⇒

> >

M 0

⊛ x−1 x−1 1+ M 1

⇒1−Mx+ ⇒ ⇒

¿ >0 <

0 M x x<1+

Poniamo il Numeratore M M

⇒

¿ 0 x> 1

Poniamo il Denominatore /M

1< x< 1+1

L’intorno a destra quindi è: <

1−1/ M x< 1

⊗ L’intorno a sinistra è

< <1+1/ =δ (M )

1−1/ M x< 1∪ 1< x M 1/ M

Quindi:

LIMITE FINITO PER x TENDENTE A INFINITO

( )=l(l ∈

lim f x R)

É il caso in cui x→∞ ¿

x+ 1

Per esempio: { }

( )=R− =¿−∞ [∪ ]0; +∞¿

y= D f 0 ; 0

x

Invece di studiare il comportamento della funzione quando tende a 0, la si studia quando

± ∞

tende a .

x 25 100 1500 10000

lim 1,0000

y 1,04 1,01 1,0006

x →+∞ 1

x -5 -10 -100 -1500

lim y 0,8 0,9 0,99 0,9993

x →−∞

Quindi al crescere della x, la y tende a 1, e anche al

diminuire della x, la y tende a 1.

Ovvero: | |

| |

( ) ( ) ( )

∀ ∃ ∀ ⇒

>0 >0 > −l <ε

ε M ε : x : x M ε f x ±∞

Ora si dimostra se esiste un intorno di :

| | | |

x+1 x+1−x 1 1 1 1

| |

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∪

−1 < < <ε > > ←

ε ε x x x

| |

x x ε ε ε

x

Verifichiamo: √

| |

1 1 1 1

=0 −0 < < −1

lim → ε → ε → x=±

 | |

2 2 ε

2

+1 +1

x x +1

x

x→∞

c’è concordanza, quindi:

√ √

1 1

−1∪ > −1

x← x

ε ε | |

1 1 1 1

2

=+∞ > > <

lim → M → M →(x−1) →

 | | M

2 2 2

(x −1) ( x−1) (x−1)

x→ 1 √ √

1 1 1 1

2 2

+1−2 < +1−2 <0 =1± =1

x x → x x− → x 1−1+ ±

M M M M

c’è discordanza, quindi:

√ √

1 1

< <1−

1+ x

M M

LIMITE INFINITO PER x TENDENTE A INFINITO

( )=∞

lim f x

É il caso in cui x→∞ 3

lim x

Per esempio: al crescere della x, il valore della y aumenta molto

x→∞

rapidamente. 2 3

x 10 10 10

lim 3 6 9

y 10 10 10

x →+∞ 3

lim x

Se viceversa si considera il , la y tende a

x →−∞

−∞ .

Fissando un M grande a piacere, si trova N, intorno di M.

Quindi: | |

| |

( ) ( ) ( )

∀ ∀ ⇒

> >0 > >

M 0∃ N M : x : x N M f x M ∪x

( ) > (M )

±∞ x← N M N

Ovvero l’intorno di è:

Verifichiamo: | | √ √

3 3

3 3 3 3

∪ ∪

=∞ =M > ← > ←

lim x → x → x M x M → x M x M

 ⤷

x→∞ (

N M)

2

(x +4 )¿+

lim ∞ +∞ −∞

sia che si tenda a , sia che si tenda a , y tende

 x→∞ +∞

sempre a .

| | ( ) √

2 2 2

(x + > + > +4−M >0 −4

→ 4) M → x 4 M → x → x=± M

c’è concordanza quindi:

√ √

∪

−4 >+ −4

x← M x M

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