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Funzioni, Limiti

Il concetto di limite nacque in fisica per definire un intervallo di tempo molto piccolo. Per calcolare la velocità istantanea, infatti, bisogna considerare intervalli di tempo sempre più piccoli, arrivando quasi a far coincidere due punti (per esempio, A con B). In questo caso,

[math]\Delta t[/math]
(l'intervallo di tempo) tende a 0 senza mai arrivare però a toccarlo, quindi:

[math]\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=v[/math]

“0” rappresenta il punto di accumulazione.

In matematica si utilizzano i limiti per studiare il comportamento delle funzioni. Per esempio nella funzione

[math]y=\frac{1}{x-1}[/math]
con dominio
[math]D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}[/math]
ci si può porre la domanda di come si comporti la funzione nell’intorno del valore 1. Che valore assuma la funzione vicino a 1? Con il limite si studia il comportamento della funzione non nel punto 1, ma vicino ad esso.


Facciamo un altro esempio:

[math]y=f(x)=\frac{3x^2-8x+4}{x-2}[/math]
, con
[math]D(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}[/math]
. La funzione esiste solo per
[math]x\not= 2[/math]
in quanto se
[math]x=2[/math]
si ha
[math]y=0/0[/math]
. E' possibile però sostituire alla x valori poco più piccoli e poco più grandi di 2 e vedere come si comporta la funzione:

[math]\begin{array}{|c|c|}
x & y\\ \hline
1,5 & 2,5\\ \hline
1,6 & 2,8\\ \hline
1,7 & 3,1\\ \hline
1,8 & 3,4\\ \hline
1,9 & 3,7\\ \hline
1,93 & 3,79\\ \hline
1,96 & 3,88\\ \hline
1,99 & 3,97\\ \hline
1,999 & 3,997\\ \hline
2,001 & 4,003\\ \hline
2,02 & 4,06\\ \hline
2,05 & 4,15\\ \hline
2,07 & 4,21\\ \hline
2,1 & 4,3\\ \hline
2,21 & 4,63\\ \hline
2,35 & 5,05\\ \hline
2,4 & 5,2\\ \hline
2,5 & 5,5\\ \hline
\end{array}[/math]


Notiamo che, avvicinandoci a

[math]x=2[/math]
, il valore di
[math]y[/math]
si avvicina a 4. Nell’avvicinarsi a 4, l’intorno completo di 2 è sempre più piccolo (da 1 a 0,02). La differenza tra la funzione e il valore 4 è sempre minore, così che si può affermare che:


[math]\left|\frac{3x^2-8x-4}{x-2}-4\right|<\epsilon[/math]


(si ricordi che

[math]|f(x)|<k\ \Leftrightarrow\ -k< f(x)< k[/math]
). Risolvendo la disequazione precedente rispetto a
[math]x[/math]
si trova
[math]2-\frac{\epsilon}{3}< x< 2+\frac{\epsilon}{3}[/math]
che è l'intorno di 2 all'interno del quale cadono i punti
[math]x[/math]
.
[math]\frac{\epsilon}{3}=\delta_\epsilon[/math]
è detto raggio dell’intorno


LIMITE FINITO PER x TENDENTE AD UN VALORE FINITO
Non è altro che il caso mostrato nell’esempio precedente.
Si dice che la funzione

[math]f(x)[/math]
, per x tendente a
[math]x_0[/math]
, ha per limite il numero
[math]l[/math]
, e si scrive:
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l\in\mathbb{R}[/math]
quando in corrispondenza di un arbitrario numero positivo,
[math]\epsilon[/math]
, si può sempre determinare un intorno completo
[math]I_{\delta_\epsilon}(x_0)=(x_0-\delta_\epsilon,x_0+\delta_\epsilon)[/math]
del punto
[math]x_0[/math]
tale che, per tutti i valori di x che cadono in
[math]I_{\delta_\epsilon}(x_0)[/math]
, escluso
[math]x_0[/math]
, risulti soddisfatta la relazione

[math]|f(x)-l|<\epsilon\ \Leftrightarrow\ l-\epsilon < f(x) < l+\epsilon[/math]

La definizione formale risulta

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ \forall\ x\ |\ 0<|x-x_0|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-l|<\epsilon[/math]


LIMITE INFINITO PER x TENDENTE AD UN VALORE FINITO
É il caso in cui

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty[/math]
. Torniamo al primo esempio:
[math]y=f(x)=\frac{1}{x-1},\ D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}[/math]
. “1” è il punto di accumulazione. Si definisce quindi l’intorno di x=1:

[math]\begin{array}{|c|}
x\to 1^+\\ \hline
\begin{array}{c|c}
1,3 & 3,33\\ \hline
1,1 & 10\\ \hline
1,001 & 1000\\ \hline
1,0001 & 10000
\end{array}\\ \hline
\end{array}\qquad \begin{array}{|c|}
x\to 1^-\\ \hline
\begin{array}{c|c}
0,7 & -3,33\\ \hline
0,9 & -10\\ \hline
0,999 & -1000\\ \hline
0,9999 & -10000
\end{array}\\ \hline
\end{array}[/math]


Nel primo caso,

[math]x\to 1^+[/math]
, la y assume dei valori sempre maggiori crescendo molto rapidamente. Nel secondo caso,
[math]x\to 1^-[/math]
, la y aumenta in modo analogo ma con valore negativo. Il grafico corrispondente mostra un’iperbole equilatera che ha come asintoti
[math]x=1, y=0[/math]
. Dal grafico si nota anche che, mano mano ci si avvicina a 1 da destra, la
[math]y[/math]
assume il valore
[math]-\infty[/math]
. Dire che
[math]y[/math]
assume un valore prossimo a
[math]-\infty[/math]
equivale ad affermare che
[math]f(x)< -M[/math]
per
[math]M>0[/math]
qualsiasi, man mano che
[math]x\to 1^-[/math]
. Quindi:


[math]\forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ :\ \forall\ x\ | 0<|x-x_0 |<\delta_M\ \Rightarrow\ |f(x)|> M[/math]


(si ricordi che

[math]|f(x)|> M\ \Leftrightarrow\ f(x)>M\ \vee\ f(x)< -M[/math]
).

Risolvendo la condizione sulla funzione, otteniamo la soluzione

[math]1-\frac{1}{M} < x < 1+\frac{1}{M}[/math]
, che permette di determinare l'intorno di x voluto, con
[math]\delta_M=\frac{1}{M}[/math]
.


LIMITE FINITO PER x TENDENTE A INFINITO
E' il caso in cui

[math]\lim_{x\to\infty}f(x)=l\in\mathbb{R}[/math]
. Consideriamo per esempio
[math]y=f(x)=\frac{x+1}{x}[/math]
, con
[math]D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/math]
. Studiamo il comportamento della funzione quando
[math]x\to\pm\infty[/math]
:

[math]\begin{array}{|c|}
x\to+\infty\\ \hline
\begin{array}{c|c}
10 & 1,1\\ \hline 100 & 1,01\\ \hline 1000 & 1,001\\ \hline 10000 & 1,0001\\ \hline 100000 & 1,00001
\end{array}\\ \hline
\end{array}\qquad \begin{array}{|c|}
x\to-\infty\\ \hline
\begin{array}{c|c}
-10 & 0,9\\ \hline -100 & 0,99\\ \hline -1000 & 0,999\\ \hline -10000 & 0,9999\\ \hline -100000 & 0,99999
\end{array}\\ \hline
\end{array}[/math]


Quindi al crescere della x, la y si avvicina a 1, e anche al diminuire della x, la y si avvicina a 1.
Ovvero:

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists M_\epsilon>0\ :\ \forall\ x\ |\ |x| > M_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-l|<\epsilon[/math]

Risolvendo la disequazione

[math]\left|\frac{x+1}{x}-1\right|<\epsilon[/math]
ricaviamo la soluzione
[math]x<-\frac{1}{\epsilon},\ x>\frac{1}{\epsilon}[/math]
e cioè
[math]|x|>\frac{1}{\epsilon}[/math]
che permette di determinare l'intorno cercato, con
[math]M_\epsilon=\frac{1}{\epsilon}[/math]
.


LIMITE INFINITO PER x TENDENTE A INFINITO
E' il caso in cui

[math]\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty[/math]
. Ad esempio, se
[math]y=x^3[/math]
, si osserva che per
[math]x\to\pm\infty[/math]
la funzione assume valori sempre più grandi (in modulo) e di segno positivo o negativo a seconda del valore dell'infinito considerato. Possiamo scrivere quindi

[math]\forall\ M>0\ \exists\ N_M>0\ :\ \forall\ x\ |\ |x|>N_M\ \Rightarrow\ |f(x)|>M[/math]

Risolvendo per il caso in esame

[math]|x^3|>M[/math]
si ricava
[math]x<-\sqrt[3]{M},\ x>\sqrt[3]{M}[/math]
, ovvero
[math]|x|>\sqrt[3]{M}[/math]
, per cui si ricava l'intorno cercato ponendo
[math]N_M=\sqrt[3]{M}[/math]
.

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