Concetti Chiave
- La teoria degli errori è fondamentale per affrontare le inevitabili imprecisioni nelle misurazioni di grandezze dirette e indirette, classificandole in errori di sensibilità, casuali e sistematici.
- Gli errori di sensibilità dipendono dalla capacità dello strumento di misurazione di individuare il valore esatto, con strumenti più sensibili che riducono l'intervallo di incertezza.
- Gli errori casuali derivano da fattori aleatori e imprevedibili, come il tempo di reazione dell'operatore o l'imprecisione nella lettura di strumenti analogici, e si manifestano in misure ripetute.
- Gli errori sistematici sono costanti e prevedibili, spesso derivanti da difetti strumentali o metodologici, e influenzano l'accuratezza della misurazione.
- La propagazione degli errori nelle misure indirette richiede la considerazione degli errori nelle misure dirette, con leggi specifiche che definiscono come si sommano o si moltiplicano nelle operazioni matematiche.
In questo appunto vengono spiegati e approfonditi i tipi di errori che possono essere commessi durante la misurazione di grandezze dirette ed indirette.
Indice
Teoria degli errori
Poiché non è mai possibile effettuare una misurazione assolutamente precisa di una grandezza è necessario prendere in considerazione e valutare gli errori che possono influenzarla.
Gli errori riscontrabili sono ripartiti in tre diverse tipologie.
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Errore di sensibilità: spesso gli strumenti di misurazione non sono in grado di determinare il valore esatto di una misura, ma solo di individuare un intervallo entro cui questo si trova. L’intervallo corrisponde ovviamente alla minima grandezza che lo strumento usato è in grado di misurare, ossia [math]\alpha_0[/math].
Uno strumento è molto sensibile quando tale intervallo in cui si trova il valore esatto è molto piccolo, più è piccolo tale intervallo e più lo strumento è sensibile.
Un righello normalmente ha una scala graduata con la suddivisione che arriva fino a definire i millimetri; un calibro invece è uno strumento molto più sensibile in quanto la sua scala graduata può arrivare anche a frazioni di millimetri quindi il valore che può essere misurato rientra in un intervallo minore rispetto a quello di un semplice righello. -
Errore casuale o statistico o aleatorio: tali errori possono dipendere da molteplici cause non sempre individuabili. È un errore casuale il margine di tempo impiegato da chi effettua una misurazione cronometrica per avviare e fermare lo strumento usato. Oppure l’errore dovuto all’impossibilità di osservare l’indice di uno strumento analogico ponendo lo sguardo perfettamente in asse con esso (errore di parallasse).
Un esempio di errore di parallasse può avvenire nel momento in cui si vuole misurare il livello di un liquido in un contenitore graduato; se si osserva il menisco da una posizione leggermente superiore o inferiore rispetto al menisco, l’occhio vede un valore del livello rispettivamente inferiore o superiore e si commette quindi un errore casuale.
Gli errori casuali intervengono anche quando si effettua una serie di misure ripetute, in tal caso si può notare come i valori rilevati oscillano intorno ad un certo range e tali oscillazioni derivano proprio dalla presenza di errori sistematici
Gli errori sistematici influenzano la precisione della misura sono sempre presenti quando si effettua una misura e in genere sono molto difficili da prevedere ed evitare. -
Errore sistematico: sono tali gli errori identici che occorrono ad ogni misurazione effettuata. Possono derivare da deficienze strumentali o dall’impiego di leggi o metodi di misura errati.
Gli errori sistematici invece influenzano l’accuratezza della misura ed è necessario ridurre il più possibile la presenza di tali errori.
Le misure e gli errori
L’errore che affligge una misura, una volta valutato, va riportato accanto alla grandezza rilevata, come espresso dalla seguente formula d’esempio.
L’errore indicato in questo caso è detto errore assoluto, ossia è la diretta espressione numerica del margine di errore che affligge la misura rilevata.
Tale espressione non permette però di considerare l’incidenza dell’errore sulla misura e ne complica l’eventuale confronto con altre misurazioni.
Conviene perciò esprimere il cosiddetto errore relativo, ossia il rapporto tra l’errore assoluto ed il valore della misura rilevata.
Per valutare, infine, con maggior precisione l’errore che affligge una misura ne si esprime l’errore percentuale, cioè il prodotto dell’errore relativo per 100.
Per ulteriori approfondimenti sulla misura e le sue caratteristiche vedi anche qua
Valutazione degli errori nelle misure dirette
Errore di sensibilità
Il massimo errore di sensibilità cui una misura può essere soggetta si esprime suddividendo a metà l’intervallo di valori (
Errore casuale
Per individuare al meglio l’errore casuale cui una misura può essere soggetta esistono tre metodi. Uno di questi è la cosiddetta semidispersione.
Innanzitutto si ripete più volte la misurazione utilizzando sempre la medesima tecnica. Quindi si valuta quale misura sia la più probabile attraverso la media aritmetica delle misure rilevate (somma dei valori diviso per il numero delle misurazioni effettuate), e si indica come errore la metà della differenza tra il maggior valore rilevato e il minore.
Valutazione degli errori nelle misure indirette
Poiché per determinare misure indirette è necessario operare con misurazioni dirette già note, è da considerarsi anche l’errore che affligge queste ultime.
Nel calcolo di misure dirette l’errore, si dice, si propaga. La legge di propagazione degli errori illustra come valutarlo, noti gli errori delle grandezze dirette.
In seguito riportiamo i casi più importanti per la propagazione degli errori; è possibile comporre tali casi semplici per risalire all’espressione dell’errore della misura indiretta caratterizzata da espressioni più complesse.
Nella somma e nella differenza di misure, l’errore assoluto è uguale alla somma degli errori assoluti dei termini.
Nel prodotto e nel quoziente di misure, l’errore relativo (percentuale) è uguale alla somma degli errori relativi (percentuali) dei termini.
Nella potenza di misure, l’errore relativo (percentuale) è uguale al prodotto dell’esponente per l’errore relativo (percentuale) della base.
Molto spesso le misure sono affette da diversi tipi di errori perciò è necessario valutare quali errori danno il contributo più rilevante, ovviamente è sempre necessario evitare il più possibile il contributo degli errori in modo da poter ottenere dei risultati più veritieri.
Per ulteriori approfondimenti sulla propagazione degli errori vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Quali sono i principali tipi di errori che possono influenzare una misurazione?
- Come si esprime l'errore assoluto in una misurazione?
- In che modo si valuta l'errore casuale nelle misure dirette?
- Come si propaga l'errore nelle misure indirette?
- Qual è l'importanza di valutare gli errori nelle misurazioni?
Gli errori principali sono di sensibilità, casuali o statistici, e sistematici. Gli errori di sensibilità dipendono dalla capacità dello strumento di misurare con precisione, gli errori casuali derivano da cause imprevedibili, e gli errori sistematici sono costanti e derivano da difetti strumentali o metodologici.
L'errore assoluto si esprime come la differenza numerica tra il valore misurato e il valore reale, indicato accanto alla grandezza rilevata nella forma [math]Misura = (grandezza \pm errore)[/math].
L'errore casuale si valuta ripetendo la misurazione più volte e calcolando la media aritmetica delle misure rilevate. L'errore è la metà della differenza tra il valore massimo e minimo rilevato.
Nelle misure indirette, l'errore si propaga dalle misure dirette. La legge di propagazione degli errori descrive come calcolare l'errore indiretto, considerando gli errori delle grandezze dirette.
Valutare gli errori è cruciale per ottenere risultati più precisi e veritieri, riducendo l'influenza degli errori sistematici e casuali e migliorando l'accuratezza delle misurazioni.
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