Calcolo di Pi greco nella storia della matematica

Calcolo di π nella storia della matematica

Nella storia della matematica nessun'altra quantità ha colpito l'attenzione di un così alto numero di persone quanto il calcolo di π. Non c'è proprio niente di misterioso nel numero π. Si sa da secoli, dagli antichi studiosi greci, che π è collegato alla circonferenza e all'area del cerchio nel rapporto fondamentale illustrato qui sotto.

. . .

π π

C 2 r d

2

d

2

. .

π π

A r 4

Per molti π è un tasto della calcolatrice che contiene un suo valore numerico:

π = 3.141592653589793

Con un qualsiasi software di matematica un valore approssimato di π si può ottenere nel modo seguente:

.

π π

4.0 atan 1.0 3.1415926535897932385

che restituirà

Queste, tuttavia, sono solo approssimazioni come dimostrò Johann Lambert nel 1767. Poiché π ha un'infinità di cifre decimali non periodiche, il problema che ha affascinato, direi ossessionato, alcuni ricercatori, è stato quello di determinare il maggior numero possibile di cifre decimali.

Il valore di π, che segue, ha 1400 cifre decimali. È stato calcolato in pochi secondi usando il pacchetto software simbolico Maple V. Calcoli odierni hanno portato oltre il miliardo il numero di cifre decimali note!

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706

798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038

196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914

127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151

160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301

194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766

940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968

925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281

609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717

766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590

921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177

528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113

900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804

668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419

927260426992279

Diamo uno sguardo ad alcune delle formule e tecniche, sviluppatesi negli anni, per accertare il valore di π. Questa lista non è completa, ma illustra alcune delle più importanti ricerche degli ultimi secoli.

Per ogni evenienza abbiamo incluso un metodo di calcolo eseguito con Mathcad. Per piacere considerate, mentre osservate, o giocate con, le simulazioni, che:

• Ogni simulazione è stata progettata per darvi la sensazione di quanto sia buona quella particolare tecnica di approssimazione di π.
• La precisione necessariamente limitata di ogni software di matematica non lo rende lo strumento ideale per andare a caccia delle cifre di π. Il meglio che si può fare con ciascuna di queste simulazioni è π = 3.141592653589793.
• Alcuni dei metodi descritti sono stati implementati sui moderni computer per produrre le incredibili espansioni di π, ma la maggior parte delle simulazioni, fatte con Mathcad, erano originariamente calcolate a mano!

Incominciamo con uno dei metodi più semplici e intuitivi, la costruzione geometrica degli antichi greci.

Approssimazione geometrica

I geometri greci hanno affrontato il problema della determinazione di π usando un approccio che sottolinea l'aspetto matematico. Se si deve calcolare una quantità sconosciuta si inizia con il calcolare per approssimazione semplici quantità conosciute.

Per esempio, se si disegna un cerchio di diametro 1, la lunghezza della circonferenza di quel cerchio sarà esattamente π. Se ora disegniamo un quadrato inscritto nel cerchio, il perimetro del quadrato sarà minore di π, mentre un quadrato circoscritto avrà un perimetro maggiore di π.

1