In questo appunto di algebra lineare viene spiegata l’operazione di prodotto tra due matrici a coefficienti reali. Rivediamo alcune definizioni: matrice trasposta, matrice identica, vettore riga e vettore colonna. L'appunto contiene un esempio numerico per capire il meccanismo di esecuzione dell’operazione di moltiplicazione.
Indice
Prodotto tra due matrici
Date due matrici i cui coefficienti sono numeri reali,
di ordine
e
di ordine
, il prodotto tra esse
è definito solo se il numero di colonne di
è uguale al numero di righe di
, cioè se
.
In tal caso il risultato del prodotto è una matrice
di ordine
, il cui elemento di posto
è definito come il prodotto scalare canonico fra la
-esima riga di
e la
-esima colonna di
.
In simboli matematici abbiamo:
Due matrici come A e B, sono dette anche conformabili, e il prodotto fra matrici si può eseguire solo se queste sono conformabili, si dice anche che A è conformabile con B.
Proprietà del prodotto tra due o più matrici
Dette A, B, C tre matrici conformabili, la moltiplicazione:
- gode della proprietà associativa:[math](A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)[/math]
- non vale la proprietà commutativa:[math]A\cdot B\neq B\cdot A[/math]
- è distributiva rispetto all’addizione sia a sinistra che a destra:[math]A\cdot( B+C)=A\cdot B+A\ \ e \ \ (B+C)\cdot A=B\cdot A+ C\cdot A[/math]
- non vale la legge di annullamento del prodotto:[math]A\cdot B=0 \nrightarrow A=0 \vee B=0[/math]
- non vale la legge di cancellazione:[math]A\cdot B=A\cdot C \nrightarrow B=C[/math]
In generale il prodotto non è commutativo, tuttavia ci sono dei casi particolari in cui il prodotto risulta commutativo:
le potenze di una matrice
commutano.
Per le matrici quadrate valgono infine le seguenti proprietà:
-
[math]A\cdot 0=0\cdot A=0[/math]dove con 0 si indica la matrice nulla dello stesso ordine di A;
-
[math]A\cdot I=I\cdot A=A[/math]dove Ia matrice identica[math]I[/math], dello stesso ordine di A è l’elemento neutro del prodotto.
Esempio numerico svolto
Calcoliamo il prodotto
, date le due matrici:
è una matrice di ordine
,
è di ordine
, pertanto la matrice risultante
è di ordine
.
Eseguiamo il prodotto riga per colonna e costruiamo tutti gli elementi di
.
La componente di
di posto
è il prodotto scalare canonico fra la prima riga di
e la prima colonna di
, effettuiamo la moltiplicazione tra gli elementi:
La componente di
di posto
è il prodotto scalare canonico fra la prima riga di
e la seconda colonna di
:
La componente di
di posto
è il prodotto scalare canonico fra la seconda riga di
e la prima colonna di
:
La componente di
di posto
è il prodotto scalare canonico fra la seconda riga di
e la seconda colonna di
:
Scriviamo la matrice quadrata
:
Matrice trasposta
Se
è una matrice di ordine
, allora la matrice
, leggi
trasposta, è la matrice di ordine
che si ottiene scambiando le righe con le colonne.
Vediamo un esempio.
Sia data la matrice
la matrice trasposta è quella che si ottiene scambiando la prima riga con la prima colonna, la seconda riga con la seconda colonna, ..., la
-esima riga con la
-esima colonna, quindi, in questo caso:
Se le matrici sono vettori riga o colonna: il trasposto di un vettore riga è il corrispondente vettore colonna, mentre il trasposto di un vettore colonna è il corrispondente vettore riga.
Infine l'operatore di trasposizione gode della seguente proprietà:
La trasposta del prodotto di due matrici è uguale al prodotto delle matrici trasposte
Per ulteriori approfondimenti sulle matrici vedi qua
Matrice identità o identica
La matrice identità indicata con
, di ordine
è l'elemento neutro del prodotto fra matrici, ed è una matrice quadrata con n righe ed n colonne che ha tutti
sulla diagonale principale, e zero altrove. Ad esempio la matrice identità del terzo ordine è fatta come segue:
La matrice identità è detta anche matrice identica. Questa viene utilizzata per costruire il polinomio caratteristico ai fini della ricerca degli autovalori di una matrice.
Per ulteriori approfondimenti sugli autovalori e autovettori vedi qua
Prodotto fra vettori riga e vettori colonna
Vettore riga per vettore colonnaSe
e
sono due vettori a
componenti, il prodotto fra il vettore riga
e il vettore colonna
coincide con il prodotto scalare canonico fra
e
, in formule:
Se
è un vettore riga, il corrispondente vettore colonna si indica con
(trasposto), così come se
è un vettore colonna allora il corrispondente vettore riga si indica con
.
Vettore colonna per vettore riga
Se
sono due vettori a
componenti, il prodotto fra il vettore colonna
e il vettore riga
coincide con la matrice di ordine
in cui la componente di posto
è data dal prodotto fra la
-esima componente di
e la
-esima componente di
.
In formule:
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
