Quest'appunto tratta di algebra e in particolare del significato di matrice. Grazie all'utilizzo di opportuni esempi, è possibile comprendere la strategia più opportuna per l'individuazione della posizione di specifici componenti della matrice.
Indice
La definizione di matrice: cos'è e com'è costituita
Oggi parleremo di matrici: che cos'è una matrice? Iniziamo a dare una definizione chiara, per poi passare a degli esempi.
Si chiama matrice
una tabella costituita da
, cui generico elemento verrà indicato con
.
Essi sono disposti su
righe ed
colonne.
Per esempio: la matrice di
elementi
è la matrice così costituita:
a_{1,1}&a_{1,2}&...&a_{1,n}\\
a_{2,1}&a_{2,2}&...&a_{2,n}\\
a_{2,1}&a_{2,2}&...&a_{2,n}\\
a_{n,1}&a_{n,2}&...&a_{n,n}\\
\end{array}\right)[/math]
Come classificare gli elementi di una matrice
Per comprendere come classificare gli elementi di una matrice basta guardare con attenzione quella riportata sopra:cosa hanno in comune gli elementi della prima riga?
Essi hanno un aspetto in comune, ossia che dei due indici il primo è fissato a
.
Che cosa hanno a comune gli elementi della seconda riga?
Dei due indici hanno in comune il primo: che significato hanno
? Il primo indice indica la riga di appartenenza del nostro elemento, mentre il secondo indice indica la colonna di appartenenza.
Proprio come abbiamo notato che tutti gli elementi della stessa riga hanno tutti lo stesso primo indice, possiamo notare che tutti gli elementi della prima colonna hanno il secondo indice uguale.
In particolare, nella prima colonna tutti hanno il secondo indice
, seconda colonna tutti hanno la stesso indice
, nell'ennesima colonna tutti hanno come secondo indice l'intero
.
Quindi
sono definiti come numeri interi per cui valgono le seguenti condizioni:
1\ ≤\ j\ ≤\ n[/math]
Continuiamo questo appunto con degli esempi finalizzati alla comprensione delle strategie per individuare la posizione di uno specifico componente all'interno della matrice.
Esempio 1: matrice con tre colonne e due righe
Noi abbiamo scritto la generica matrice di
righe e
colonne, però immaginiamoci che questa è la sua espressione in forma generale. Sostituiamo, quindi, i generici componenti con dei numeri interi specifici.
Che significa questo? Che se noi utilizziamo dei numeri e
sono numeri reali la matrice seguirà sempre questa struttura, ossia:
1 & -1 & 3\\
2& 0 & \sqrt2\\
\end{array}\right)[/math]
Che tipo di matrice è questa? E' una tabella costituita da
righe e
colonne ed è quindi una matrice di tipo
elementi. Quindi la nostra matrice di tipo
ed è costituita da
elementi di numeri reali disposti secondo una tabella di
righe ed
colonne.
Esempio 2: matrice con tre colonne e tre righe
Facciamo un altro esempio, stavolta considerando una matrice di questo tipo:
-1 & 2 & 5\\
6 & 4 & -\frac{1}{3}\\
2 & 1 & 0\\
\end{array}\right)[/math]
Che tipo di matrice è questa? Ha
righe e
colonne. Ora se io vi dico il numero
a cosa corrisponde nella forma generale, che ragionamento dovremmo fare? Il numero
che posizione occupa?
Il numero
occupa la seconda riga e la seconda colonna, nella forma generale è l'elemento
.
Viceversa, se io prendo il numero
in che posizione si trova? Il numero
si trova nella prima riga e nella terza colonna, quindi il numero
è l'elemento
.
E allora se io vi dicessi qual è l'elemento
? Lo andremo ad individuare nella seguente maniera:
è l'elemento che si trova all'incrocio fra la terza riga e la prima colonna, quindi è l'elemento
. Utilizzando questa strategia, individuare la posizione dei componenti all'interno della matrice è davvero molto semplice!
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