ANALISI MATEMATICA-MATRICI
Oggi parleremo di Matrici, che cos'è una matrice? Iniziamone a darne la definizione:Si chiama matrice
[math] m \times n [/math]
, una tabella costituita da [math]m \cdot n[/math]
numeri reali, il cui generico elemento sarà indicato con [math]a_{ij}[/math]
disposti su [math]m[/math]
righe ed [math]n[/math]
colonne. In particolare con
[math] a_{ij} [/math]
si intende l'elemento in riga i-esima e colonna j-esima.Facciamo un esempio, la matrice
[math]m \times n[/math]
[math]A_{ij}[/math]
è la matrice così costituita:
[math]A=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&...&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&...&a_{2,n}\\...&...&...\\a_{n,1}&a_{n,2}&...&a_{n,n}\\\end{vmatrix}[/math]
Cosa hanno a comune gli elementi della prima riga? Vedete hanno a comune che dei due indici il primo è fissato nell'
[math]1[/math]
.Che cosa hanno a comune gli elementi della seconda riga? Dei due indici hanno a comune il primo indice, allora di quella coppia di indici
[math](i,j)[/math]
come ne dovremmo tenere conto? Il primo indice indica la riga di appartenenza del nostro elemento, mentre il secondo indice indica la colonna di appartenenza. Così che, come abbiamo notato che tutti gli elementi della stessa riga hanno tutti lo stesso primo indice, possiamo notare che tutti gli elementi della prima colonna hanno il secondo indice: prima colonna tutti hanno il secondo indice [math]=1[/math]
, seconda colonna tutti hanno la stesso indice [math]=2[/math]
, ennesima colonna tutti hanno come secondo indice l'intero [math]n[/math]
. Quindi [math](i,j)[/math]
sono tali che, sono numeri interi tali che:[math] 1 \le i \le m [/math]
[math] 1 \le j \le n [/math]
Noi abbiamo scritto la generica matrice di
[math]m[/math]
righe e [math]n[/math]
colonne, però immaginiamoci che questa è la sua espressione in forma generale. Un esempio specifico di matrice è il seguente:
[math]\begin{vmatrix}1&-1&3\\2&0&\sqrt{2}\\\end{vmatrix}[/math]
Che tipo di matrice è questa? E' una tabella costituita da
[math]2[/math]
righe e [math]3[/math]
colonne, quindi è una matrice di tipo [math]2 \times 3 [/math]
, composta infatti da [math] 2 \cdot 3 = 6 [/math]
elementi. Diremo che questa matrice appartiene all'insieme [math] \mathbb{R} ^ {2 \times 3} [/math]
. Facciamo un altro esempio, prendiamoci una matrice di questo tipo:
[math]\begin{vmatrix}-1&2&5\\6&4&-\frac{1}{3}\\2&1&0\\\end{vmatrix}[/math]
Che tipo di matrice è questa qua? Ha
[math]3[/math]
righe e [math]3[/math]
colonne. Ora se io vi dico il numero [math]4[/math]
a cosa corrisponde nella forma generale, che ragionamento dovremmo fare? Il numero [math]4[/math]
che posizione occupa? Il numero [math]4[/math]
occupa la seconda riga e la seconda colonna, nella forma generale è l'elemento [math]a_{2,2}=4[/math]
.Viceversa, se io prendo il numero
[math]5[/math]
in che posizione si trova? Il numero [math]5[/math]
si trova nella prima riga e nella terza colonna, quindi il numero [math]5[/math]
è l'elemento [math]a_{1,3}[/math]
.Le matrici come nell'esempio di sopra si chiamano matrici quadrate. In generale, una matrice si dice quadrata quando il numero di righe è uguale al numero di colonne. Le matrici quadrate hanno delle proprietà interessanti, che si discutono in corsi di algebra lineare più avanzata.
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