Prodotto scalare: proprietà e definizione

In questo appunto di algebra lineare vedremo che cos'è uno spazio vettoriale, assieme alla definizione di vettore e di prodotto scalare. Vedremo inoltre l'elenco delle varie proprietà di cui gode il prodotto scalare tra due vettori.

Vettori e spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori, dove sono definite due operazioni: la somma tra vettori e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare.
Per approfondimenti sui vettori, vedi anche qua.

Definizione e proprietà 

Dato uno spazio vettoriale

su campo

, un prodotto scalare è una qualsiasi funzione

• Linearità rispetto alla prima componente:

  Vale quindi l'uguaglianza

  [math]f(v_1 + v_2, w) = f(v_1, w) + f(v_2, w) \quad \forall v_1, v_2, w \in V[/math]

• Omogeneità  rispetto alla prima componente:

  Cioè vale l'uguaglianza

  [math]f(\lambda v, w) = \lambda \cdot f(v,w) \quad \forall v, w \in V \quad \forall \lambda \in K[/math]

• Simmetria Hermitiana (il soprassegno indica il complesso coniugato):
  [math]f(v,w) = \overline{f(w,v)} \quad \forall v, w \in V[/math]

• Positività  di
  [math]f(v,v)[/math]
  (
  [math]O[/math]
  è il vettore nullo di
  [math]V[/math]
  ):
  [math]f(v,v) \ge 0 \quad \forall v \in V[/math]
  [math]f(v,v) = 0 \iff v = O[/math]

Attenzione! Nel caso particolare di

Invece, la prima e la terza proprietà definiscono un funzionale sesquilineare (cioè lineare in un argomento e semilineare nell'altro.)

Prodotto scalare canonico in

[math]\mathbb{C}^n[/math]

Definiamo con

l'insieme dei numeri complessi. Ricordiamo inoltre che il coniugato di un numero complesso

. Dati due vettori

e

di

, il prodotto scalare canonico fra

e

si indica con

e vale:

.

Prodotto scalare canonico in

[math]\mathbb{R}^n[/math]

Anche in

si definisce un prodotto scalare canonico, ed è del tutto analogo al precedente. Dati due vettori

e

di

, il prodotto scalare canonico fra

e

si indica con

e vale:

Si può facilmente osservare come in questo secondo caso il prodotto scalare sia commutativo e bilineare.

Esercizi di esempio

• Determinare il prodotto scalare delle coppie di vettori
  [math] v_1 = (3, 6); w_1 = (5, 2) [/math]
  ,
  [math] v_2 = (5, 8); w_2 = (4, 7) [/math]
  ,
  [math] v_3 = (1, 1); w_3 = (5, 6) [/math]
  .
• Come abbiamo definito prima, per calcolare il prodotto scalare bisogna calcolare il prodotto tra le rispettive componenti ed effettuarne la somma. Quindi per la prima coppia varrà
  [math] >v_1, w_1> = 3 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 15 + 12 = 27 [/math]
  . Per la seconda coppia il risultato è
  [math] >v_2, w_2> = 5 \cdot 4 + 8 \cdot 7 = 20 + 56 = 76 [/math]
  . Per la terza coppia, infine, il prodotto scalare sarà
  [math]>v_3, w_3> = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 6 = 5 + 6 = 11[/math]
  .

Dimostrazione della proprietà commutativa del prodotto scalare in

[math] \mathbb{R}^n [/math]

Verifichiamo ora che il prodotto scalare canonico in

è commutativo. Dati due vettori

diciamo che

e

.
Calcolando

si ottiene che

. Calcolando invece, in maniera analoga

si ottiene che

. Ma le quantità calcolate in entrambi i casi coincidono in quanto, per la proprietà commutativa della moltiplicazione si ha

per ogni

. Quindi il prodotto scalare è commutativo.
Il prodotto scalare non è l'unica operazione che possiamo effettuare tra i vettori, ma esiste anche il prodotto vettoriale.
Per approfondimenti sul prodotto vettoriale, vedi anche qua.