In questo appunto di algebra lineare vedremo che cos'è uno spazio vettoriale, assieme alla definizione di vettore e di prodotto scalare. Vedremo inoltre l'elenco delle varie proprietà di cui gode il prodotto scalare tra due vettori.
Indice
Vettori e spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori, dove sono definite due operazioni: la somma tra vettori e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare.Per approfondimenti sui vettori, vedi anche qua.
Definizione e proprietà
Dato uno spazio vettoriale[math]V[/math]
su campo [math]K[/math]
, un prodotto scalare è una qualsiasi funzione [math]f: V \times V \to K[/math]
-
Linearità rispetto alla prima componente:
Vale quindi l'uguaglianza
[math]f(v_1 + v_2, w) = f(v_1, w) + f(v_2, w) \quad \forall v_1, v_2, w \in V[/math] -
Omogeneità rispetto alla prima componente:
Cioè vale l'uguaglianza
[math]f(\lambda v, w) = \lambda \cdot f(v,w) \quad \forall v, w \in V \quad \forall \lambda \in K[/math] -
Simmetria Hermitiana (il soprassegno indica il complesso coniugato): [math]f(v,w) = \overline{f(w,v)} \quad \forall v, w \in V[/math]
- Positività di [math]f(v,v)[/math]([math]O[/math]è il vettore nullo di[math]V[/math]):[math]f(v,v) \ge 0 \quad \forall v \in V[/math][math]f(v,v) = 0 \iff v = O[/math]
[math]K = \mathbb{R}[/math]
la proprietà relativa alla simmetria Hermitiana si riduce a [math]f(v,w) = f(w,v)[/math]
e in tal caso il prodotto scalare risulta simmetrico e bilineare (cioè lineare rispetto ad entrambe le componenti).
Invece, la prima e la terza proprietà definiscono un funzionale sesquilineare (cioè lineare in un argomento e semilineare nell'altro.)
Prodotto scalare canonico in [math]\mathbb{C}^n[/math]
Definiamo con [math] \mathbb{C} [/math]
l'insieme dei numeri complessi. Ricordiamo inoltre che il coniugato di un numero complesso [math] z = a+ib [/math]
si indica solitamente con [math] \overline{z} [/math]
ed è pari a [math] \overline{z} = a-ib [/math]
.
Un particolare prodotto scalare definito in [math]\mathbb{C}^n[/math]
è il prodotto scalare canonico. Dati due vettori [math]x = (x_1, x_2, \dots, x_n)[/math]
e [math]y = (y_1, y_2, \dots, y_n)[/math]
di [math]\mathbb{C}^n[/math]
, il prodotto scalare canonico fra [math]x[/math]
e [math]y[/math]
si indica con [math] >x, y> [/math]
e vale:[math] \displaystyle >x,y> = \sum_{i = 1}^n x_i \overline{y_i} = x_1 \cdot \overline {y_1} + x_2 \cdot \overline {y_2} + x_3 \cdot \overline{y_3} + \dots + x_{n-1} \cdot \overline{y_{n-1}} + x_n \cdot \overline{y_n} [/math]
Prodotto scalare canonico in [math]\mathbb{R}^n[/math]
Anche in [math]\mathbb{R}^n[/math]
si definisce un prodotto scalare canonico, ed è del tutto analogo al precedente. Dati due vettori [math]x = (x_1, x_2, \dots, x_n)[/math]
e [math]y = (y_1, y_2, \dots, y_n)[/math]
di [math]\mathbb{R}^n[/math]
, il prodotto scalare canonico fra [math]x[/math]
e [math]y[/math]
si indica con [math] >x, y> [/math]
e vale:
[math] \displaystyle >x, y> = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n[/math]
Si può facilmente osservare come in questo secondo caso il prodotto scalare sia commutativo e bilineare.
Esercizi di esempio
- Determinare il prodotto scalare delle coppie di vettori [math] v_1 = (3, 6); w_1 = (5, 2) [/math],[math] v_2 = (5, 8); w_2 = (4, 7) [/math],[math] v_3 = (1, 1); w_3 = (5, 6) [/math].
- Come abbiamo definito prima, per calcolare il prodotto scalare bisogna calcolare il prodotto tra le rispettive componenti ed effettuarne la somma. Quindi per la prima coppia varrà [math] >v_1, w_1> = 3 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 15 + 12 = 27 [/math]. Per la seconda coppia il risultato è[math] >v_2, w_2> = 5 \cdot 4 + 8 \cdot 7 = 20 + 56 = 76 [/math]. Per la terza coppia, infine, il prodotto scalare sarà[math]>v_3, w_3> = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 6 = 5 + 6 = 11[/math].
Dimostrazione della proprietà commutativa del prodotto scalare in [math] \mathbb{R}^n [/math]
Verifichiamo ora che il prodotto scalare canonico in [math] \mathbb{R}^n [/math]
è commutativo. Dati due vettori [math] v, w [/math]
diciamo che [math] v = (x_1, x_2, \dots, x_n) [/math]
e [math] w = (y_1, y_2, \dots, y_n) [/math]
.Calcolando
[math] >v, w> [/math]
si ottiene che [math] >v, w> = x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_{n-1}y_{n-1} + x_ny_n [/math]
. Calcolando invece, in maniera analoga [math] >w, v> [/math]
si ottiene che [math] >w, v> = y_1x_1 + y_2x_2 + \dots + y_{n-1}x_{n-1} + y_nx_n [/math]
. Ma le quantità calcolate in entrambi i casi coincidono in quanto, per la proprietà commutativa della moltiplicazione si ha [math] x_iy_i = y_ix_i [/math]
per ogni [math]i[/math]
. Quindi il prodotto scalare è commutativo.Il prodotto scalare non è l'unica operazione che possiamo effettuare tra i vettori, ma esiste anche il prodotto vettoriale.
Per approfondimenti sul prodotto vettoriale, vedi anche qua.
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