Sia
[math]\mathcal{V}[/math]
uno spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi, con [math]dim(\mathcal{V}) = 3[/math]
. Siano poi [math]A,B,C,D,P,Q,R,S[/math]
vettori di [math]\mathcal{V}[/math]
, ove [math]{A,B,C}[/math]
genera [math]\mathcal{V}[/math]
, [math]D = A - B + C[/math]
, [math]R = 2P + 2Q[/math]
ed [math]S = -P - Q[/math]
.
- Esistono trasformazioni lineari [math]\phi: \mathcal{V} \to \mathcal{V}[/math]che portino la terna ordinata[math](A,B,C)[/math]sulla terna[math](P,Q,R)[/math]? Se sì, quante ne esistono? Se no, passare direttamente alla domanda 7.
- Esprimere [math]\phi(D)[/math]come combinazione lineare di[math]P[/math]e[math]Q[/math].
- Che relazione c'è fra [math]\text{rank}(\phi)[/math]e[math]\text{rank}(P,Q)[/math]?
- Che relazione c'è fra [math]\text{Im}(\phi[/math]e[math]L(P,Q)[/math]?
- È possibile che [math]\phi[/math]sia invertibile?
- Indicando con [math](p_A, p_B, p_C)[/math]e[math](q_A, q_B, q_C)[/math]le terne di coordinate di[math]P[/math]e[math]Q[/math]rispetto alla base ordinata[math](A,B,C)[/math]di[math]\mathcal{V}[/math], scrivere la matrice che rispetta[math]\phi[/math]rispetto ad[math](A, B, C)[/math].
- Esiste una trasformazione lineare che porti [math](A, B, C, D)[/math]in[math](P, Q, R, S)[/math]?
- No, nessuna
- Sì, una trasformazione che porta [math](A, B, C)[/math]in[math](P, Q, R)[/math]porta anche[math]D[/math]in[math]S[/math]
- Sì, ma se e solo se [math]2P + Q = O[/math]
Dette
[math](p_A, p_B, p_C)[/math]
le coordinate di [math]P[/math]
rispetto alla base [math]{A, B, C}[/math]
, e dette [math](q_A, q_B, q_C)[/math]
quelle di [math]Q[/math]
rispetto alla stessa base, si può scrivere [math]D=(1,-1,1)[/math]
, [math]R=(2p_A + 2q_A, 2p_B + 2q_B, 2p_C + 2q_C)[/math]
, [math]S=(-p_A - q_A, -p_B - q_B, -p_C - q_C)[/math]
, [math]A=(1,0,0)[/math]
, [math]B=(0,1,0)[/math]
, [math]C=(0,0,1)[/math]
(ovviamente tutti i vettori sono espressi rispetto alla base [math]{A, B, C}[/math]
). L'applicazione
[math]\phi[/math]
richiesta deve essere tale che [math]\phi(A)=P[/math]
, [math]\phi(B)=Q[/math]
, [math]\phi(C)=R[/math]
. Dato che [math]A, B, C[/math]
sono i vettori che formano la base di riferimento, la matrice che rappresenta [math]\phi[/math]
sarà quella che ha per colonne i vettori [math]P, Q, R[/math]
, espressi rispetto alla base [math]{A, B, C}[/math]
, pertanto la trasformazione [math]\phi[/math]
richiesta esiste ed è unica. Dato che è possibile esprimere
[math]\phi[/math]
tramite una matrice, allora questa è un'applicazione lineare.
[math]\phi(D) = \phi(A-B+C) = \phi(A) - \phi(B) + \phi(C) = P-Q+R[/math]
e in questa catena di uguaglianze è stato sfruttato il fatto che
[math]\phi[/math]
è un'applicazione lineare. La matrice che rappresenta l'applicazione
[math]\phi[/math]
rispetto a [math]{A, B, C}[/math]
è:
[math]((p_A, q_A, 2p_A + 2q_A),(p_B, q_B, 2p_B + 2q_B),(p_C, q_C, 2p_C + 2q_C))[/math]
Si vede che la terza colonna è combinazione lineare delle prime due, quindi il rango della matrice, e quindi dell'applicazione, è pari alla dimensione dello spazio generato da
[math]P[/math]
e [math]Q[/math]
, di conseguenza [math]rank(\phi) = rank(P, Q)[/math]
. L'immagine è lo spazio generato dalle colonne, dato che l'ultima è combinazione delle prime due si può dire che l'immagine è lo spazio generato dalle prime due colonne, ovvero
[math]\text{Im}(\phi) = L(P,Q)[/math]
.
[math]\phi[/math]
non può essere invertibile, perché la terza colonna è una combinazione lineare delle prima due, dato che le tre colonne sono vettori linearmente dipendenti il determinante è zero, e l'applicazione non risulta invertibile. Per una trasformazione
[math]\phi[/math]
che porta [math](A, B, C, D)[/math]
in [math](P, Q, R, S)[/math]
, deve valere [math]\phi(D) = S[/math]
, cioè [math]P-Q+R = -P-Q[/math]
, ovvero [math]P-Q+2P+2Q=-P-Q[/math]
, cioè [math]4P+2Q=O[/math]
, quindi esiste una tale trasformazione se e solo se [math]2P+Q=O[/math]
, dove [math]O[/math]
indica il vettore nullo.
FINE
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