Matrici quadrate, Inverse e Ortogonali

Permutazioni su n oggetti

Una permutazione su n oggetti (n ∈ N) `e un’applicazione biunivoca
p : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.
Sn = insieme delle permutazioni su n oggetti (Sn ha n! elementi).
Permutazione identica: Idn(i) = i per ogni i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Una coppia di inversione per p `e una coppia (i, j) con i, j ∈ {1, 2, . .. , n} ei p(j).
Il segno di p `e: sign p = (−1)µ(p) dove µ(p) = numero di coppie di
inversione di p.

Matrici quadrate

Il prodotto righe per colonne `e un’operazione binaria interna a Mn(K); `e associativa, ma non commutativa (se n > 1).Elemento neutro: Matrice identica di ordine n, In = (δij).In Mn(K) non vale la legge di annullamento del prodotto.
Matrice inversa: A · A^−1 = A^−1· A = In.
In Mn(K) esistono matrici che non hanno inversa.
Matrice ortogonale: A ∈ GLn(K) tale che A^−1 =t A cio`e A ·tA =t A ·A = In

Gruppo ortogonale di ordine n su K

On(K) = {A ∈ GLn(K) | A è ortogonale}
Trasformazioni elementari di riga (di colonna)
T1 : scambiare due righe (colonne)
T2 : sommare ad una riga (colonna) una combinazione lineare di altre righe (colonne)
T3 : moltiplicare una riga (colonna) per uno scalare non nullo