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I vettori


Lo spostamento sul piano o nello spazio di un oggetto viene rappresentato mediante un vettore, come la forza. Nota che uno spostamento tra due punti A e B del piano è caratterizzato da tre proprietà:
  • • la direzione, cioè la retta a cui appartengono i punti A e B;
    • il verso, che può andare da A a B o da B ad A;
    • il valore, cioè la distanza AB.

Se consideriamo una forza, che può essere descritta mediante un vettore, il suo «valore» si chiama anche «modulo» o «intensità». Le grandezze, come la temperatura e la massa, che sono completamente caratterizzate dal loro valore (quindi non hanno direzione e verso) si chiamano scalari.
Per distinguerli dagli scalari, le grandezze vettoriali sono scritte con un simbolo sovrastato da una freccia.

Riassumendo:
I vettori rappresentano grandezze fisiche che hanno una direzione, un verso, un valore e che si sommano con la regola del parallelogramma (o quella, equivalente, detta punta-coda).

Consideriamo due vettori a e b, vediamo ora come si sommano.

Con il metodo del parallelogramma:

  • - Si trasla uno dei due vettori (per esempio a) in modo che abbia la coda dove inizia il vettore b.
    - Si disegna il parallelogramma che ha come due lati consecutivi e due vettori a e b.
    - Il vettore somma c = (a+b), avrà la coda coincidente con la coda dei vettori av e bv e la punta nel vertice opposto.

Con il metodo punta-coda:
  • - Si trasla uno dei due vettori (per esempio a) in modo che abbia la coda sulla punta del vettore b.
    - Il vettore somma c = a+b avrà la coda dove inizia bv e la punta sulla punta di a.

Come si vede, con i due metodi si ottiene lo stesso risultato. Oltre alla somma, sui vettori possiamo definire altre operazioni:
  • - il prodotto di un vettore per un numero;
    - la differenza tra vettori;
    - la scomposizione di un vettore lungo due direzioni.
Prodotto di un vettore per un numero :
Dati un vettore a e un numero k, il vettore b = ka

  • • ha la stessa direzione di av;
    • ha lo stesso verso di av se k è positivo, verso opposto se k è negativo;
    • ha un modulo uguale a quello di av, moltiplicato per il valore assoluto di k.

Per esempio, la figura a lato mostra il vettore av e il vettore ba
2 v =-3 v (k 5 2 3/2);
secondo la definizione, bv ha la stessa direzione di av, verso opposto perché k è negativo e un modulo che è dato da quello di av, moltiplicato per 3/2. Come caso particolare, è importante il vettore 2av (opposto di av), che ha la stessa direzione e lo stesso modulo di av, ma verso opposto.

Differenza di vettori

La differenza tra due vettori a e b è la somma del vettore a con il vettore -b:
a - b = a + (-b)

Scomposizione di un vettore
Dato un vettore a e due rette r e s, non parallele tra loro, è possibile determinare due vettori ar e as , il primo parallelo a r e il secondo parallelo a s, la cui somma vettoriale sia a = ar + as
I vettori ar e as si chiamano vettori componenti di a lungo le rette r e s. In pratica:

  • - Consideriamo un vettore a e scegliamo due direzioni, definite dalle rette r e s.
    - Dalla punta di a tracciamo due segmenti paralleli alle due rette.
    - In questo modo definiamo i due vettori ar uguale ad a e as , la cui somma è
    a = ar + as
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