Funzioni pari e funzioni dispari

Un appunto di algebra sulle funzioni, in cui proponiamo un approfondimento sulle funzioni pari e dispari, con alcuni esempi annessi. Per introdurre l'argomento partiamo dalle definizioni di base delle funzioni e poi proseguiamo ad analizzare anche altre proprietà come la monotonia per definire le funzioni crescenti e decrescenti.

Funzioni, dominio codominio, immagine e controimmagine

Dati due insiemi non vuoti, indicati genericamente con A e B, si definisce applicazione o funzione dal primo insieme A al secondo insieme B, una relazione tra questi due insiemi che ad ogni elemento del primo fa corrispondere uno e un solo elemento del secondo insieme.
In simboli matematici scriviamo:

e leggiamo “effe applicazione da A a B”.
Scriviamo anche nel modo seguente:

Diciamo che y, è l’immagine di x attraverso la funzione f e che x è la controimmagine di y.

.
Ricordiamo ancora che l’insieme A è definito dominio della funzione; l’insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A costituiscono l'insieme delle immagini o codominio.
Quando i due insiemi A e B sono numerici le funzioni sono dette numeriche, dominio e codominio sono sottoinsiemi di R e i loro elementi vengono chiamati variabili, x è detta variabile indipendente, y è detta variabile dipendente perché il suo valore dipende dalla x scelta e dalle operazioni che la funzione compie su di essa.
Una funzione matematica consiste in una serie di operazioni che bisogna compiere su un valore x del dominio per ottenere il corrispondente valore y. La relazione:

è l’equazione della funzione e il secondo membro rappresenta l'espressione analitica o espressione matematica della funzione.

Classificazione delle funzioni

Le funzioni reali di una variabile reale assegnate attraverso una espressione analitica sono classificate in due gruppi principali: algebriche e trascendenti.
Le funzioni algebriche sono quelle per le quali il valore y della variabile dipendente si ottiene, a partire dal valore della x, eseguendo un numero finito di operazioni algebriche cioè addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza ed estrazione di radice n-esima.
Le funzioni algebriche si dividono a loro volta in:

• razionali intere;
• razionali fratte;
• irrazionali.

Le razionali intere hanno espressioni analitiche costituite da polinomi in una sola variabile.
Le razionali fratte hanno un'espressione analitica in cui la variabile x compare anche al denominatore come le frazioni algebriche.

Le funzioni irrazionali comprendono operazioni di estrazione di radice sulla variabile indipendente x.
Le funzioni trascendenti sono tutte quelle funzioni dove compaiono altri tipi di operazioni oltre a quelle algebriche. Rientrano in questo gruppo le funzioni goniometriche, le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche.

Funzioni pari e dispari

Sia D un sottoinsieme di R simmetrico rispetto allo zero cioè per ogni elemento x che appartiene ad esso, anche il suo simmetrico si trova sempre nell’insieme D, in simboli matematici:

Diamo ora la definizione:
Una funzione f definita nell’insieme D e a valori in R, si dice:

• pari, se risulta
  [math]f(x)=f(-x), \forall x \in D[/math]
  ;
• dispari, se risulta
  [math]f(-x)=-f(x), \forall x \in D[/math]
  ;

Vediamo come si caratterizza il grafico G di una funzione a seconda che essa sia pari o dispari.
Il grafico G di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y.
Per la definizione di funzione pari, se un punto

appartiene al grafico G, anche il punto

appartiene a G.
Ne segue che tutti i punti di G sono simmetrici, a due a due, rispetto all’asse y.
Il grafico G di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine O del riferimento cartesiano.
Per la definizione di funzione dispari, se un punto

appartiene al grafico G, anche il punto

appartiene a G.
Ne segue che tutti i punti di G sono simmetrici, a due a due, rispetto all’origine del sistema di riferimento.
Le funzioni pari e dispari si riconoscono dal grafico, perché questo presenta una forma di simmetria.
Studiare la parità di una funzione significa determinare se sia pari o dispari, verificando una delle due identità:

Esempi di funzioni pari e dispari

Sono funzioni pari tutte le funzioni razionali intere che presentano solo potenze pari, senza il termine noto:

• [math]y=x^2[/math]
• [math]y=4x^4-3x^2[/math]
• [math]y=x^6[/math]
• [math]y=x^n[/math]
  è pari se n è pari

Sono pari anche le seguenti funzioni:

• [math]y=\sqrt{4~x^2}[/math]
• [math]y=cos x[/math]
• [math]y=\frac{3^x+3^{-x}}{2}[/math]

Sono dispari le seguenti funzioni polinomiali:

• [math]y=x^3[/math]
• [math]y=4x^5-3x[/math]
• [math]y=x^n[/math]
  è dispari se n è dispari

Altri esempi di funzione dispari:

• [math]y=\sqrt[3]{-x}[/math]
• [math]y=sin x[/math]
• [math]y=\frac{x^3}{x^2-1}[/math]

Funzione costante, crescente, decrescente, monotona

Una funzione si definisce costante in un determinato intervallo I sottoinsieme del suo dominio, se comunque scelti due punti appartenenti all'intervallo, le immagini di questi: sono sempre uguali tra loro:

Se la condizione è verificata per tutti i punti del dominio allora diremo che la funzione è costante in tutto il dominio. Un esempio di funzione costante è retta orizzontale parallela all'asse delle ascisse che ha equazione del tipo:

Tutti i punti delle dominio hanno la stessa immagine k.

Funzione crescente

. Per una funzione crescente al crescere della variabile x cresce anche il valore della sua immagine f(x):

Se la condizione è verificata in ogni punto del dominio allora la funzione è sempre crescente.

Funzione decrescente

Una funzione di dominio D, si dice decrescente in un intervallo I, sottoinsieme del suo dominio D se, comunque si scelgano due punti appartenenti ad esso, la relazione d’ordine che c’è tra le immagini è inversa a quella che c’è tra i punti scelti. Per una funzione decrescente al crescere della variabile x decresce il valore della sua immagine f(x):

Se la condizione è verificata in ogni punto del dominio allora diremo che la funzione è sempre decrescente.

Funzione debolmente crescente o decrescente
Quando le relazioni d’ordine che abbiamo visto sopra non sono strette ma maggiore uguale

o minore uguale

, si parla di funzioni debolmente crescenti o debolmente decrescenti. In alcuni testi si dice anche non crescente o non decrescente ma è la stessa cosa. Graficamente si osserva che la funzione presenta dei tratti stazionari in cui le immagini assumono lo stesso valore, cioè in alcuni tratti la funzione è costante.
Una funzione si dice in generale monotóna in un intervallo I, quando in questo intervallo assume uno degli andamenti visti sopra, ovvero risulta sempre crescente, sempre decrescente oppure debolmente crescente o debolmente decrescente.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qui