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Funzioni polinomiali e funzioni algebriche razionali


Funzioni polinomiali
Le funzioni definite da un'espressione del tipo:
    [math]y = P(x)[/math]
dove P(x) è un polinomio, vengono dette funzioni polinomiali. Per esempio, la funzione definita da
[math]y = x^3-2x^2+1[/math]
è una funzione polinomiale.
Il dominio di una funzione polinomiale è
[math]\mathbb{R}[/math]
.
Un polinomio P(x), a coefficienti in
[math]\mathbb{R}[/math]
, può quindi essere guardato da due punti di vista:
    - uno puramente algebrico come espressione ridotta a forma normale.
    - uno funzionale, considerando come x un elemento variabile in
    [math]\mathbb{R}[/math]
    e P(x) come l'espressione analitica della funzione che associa a ogni
    [math]x \in \mathbb{R}[/math]
    il corrispondente valore assunto da polinomio in x.
Se due polinomi P(x) e Q(x) sono uguali dal punto di visto algebrico (cioè se ridotti a forma normale hanno lo stesso grado e i coefficienti ordinatamente uguali), è ovvio che individuano la stessa funzione polinomiale. Non è ovvio invece il viceversa, ossia: se due polinomi P(x) e Q(x) individuano la stessa funzione, ossia assumono lo stesso valore per ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
, devono essere uguali dal punto di vista algebrico? La risposta è sì, in merito al seguente teorema:
"Due polinomi P(x) e Q(x) a coefficienti in R sono uguali se e solo se assumono lo stesso valore per ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
.
Funzioni algebriche razionali
Le funzioni definite da un'equazione del tipo:
    [math]y = \frac{P(x)}{Q(x)}[/math]
dove P(x) e Q(x) sono due polinomi, sono dette funzioni algebriche razionali. In altre parole, le funzioni razionali sono le funzioni e cui l'espressione analitica è una frazione algebrica.
Le funzioni polinomiali sono particolari funzioni razionali, in cui Q(x) è un polinomio di grado 0, ossia una costante, non nulla.
Le funzioni razionali che non sono polinomiali vengono dette funzioni razionali frazionarie. Le funzioni razionali sono definite per ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
per cui il denominatore è diverso da 0. Esempio:
La funzione definita da
[math]y = \frac{x-1}{2x+1}[/math]
è una funzione razionale frazionaria. Essa è definita per ogni x
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
per cui
[math]2x-1 \ne 0[/math]
, cioè per
[math]x \ne \frac{1}{2}[/math]
.
Il suo dominio perciò è:
[math]\mathbb{R} - \left \{ \frac{1}{2} \right \}[/math]
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