Funzioni polinomiali e funzioni algebriche razionali

Funzioni polinomiali e funzioni algebriche razionali

Funzioni polinomiali
Le funzioni definite da un'espressione del tipo:

[math]y = P(x)[/math]

dove P(x) è un polinomio, vengono dette funzioni polinomiali. Per esempio, la funzione definita da è una funzione polinomiale.
Il dominio di una funzione polinomiale è .
Un polinomio P(x), a coefficienti in , può quindi essere guardato da due punti di vista:

- uno puramente algebrico come espressione ridotta a forma normale.
- uno funzionale, considerando come x un elemento variabile in
[math]\mathbb{R}[/math]
e P(x) come l'espressione analitica della funzione che associa a ogni
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
il corrispondente valore assunto da polinomio in x.

Se due polinomi P(x) e Q(x) sono uguali dal punto di visto algebrico (cioè se ridotti a forma normale hanno lo stesso grado e i coefficienti ordinatamente uguali), è ovvio che individuano la stessa funzione polinomiale. Non è ovvio invece il viceversa, ossia: se due polinomi P(x) e Q(x) individuano la stessa funzione, ossia assumono lo stesso valore per ogni , devono essere uguali dal punto di vista algebrico? La risposta è sì, in merito al seguente teorema:
"Due polinomi P(x) e Q(x) a coefficienti in R sono uguali se e solo se assumono lo stesso valore per ogni .

Funzioni algebriche razionali
Le funzioni definite da un'equazione del tipo:

[math]y = \frac{P(x)}{Q(x)}[/math]

dove P(x) e Q(x) sono due polinomi, sono dette funzioni algebriche razionali. In altre parole, le funzioni razionali sono le funzioni e cui l'espressione analitica è una frazione algebrica.
Le funzioni polinomiali sono particolari funzioni razionali, in cui Q(x) è un polinomio di grado 0, ossia una costante, non nulla.
Le funzioni razionali che non sono polinomiali vengono dette funzioni razionali frazionarie. Le funzioni razionali sono definite per ogni per cui il denominatore è diverso da 0. Esempio:
La funzione definita da è una funzione razionale frazionaria. Essa è definita per ogni x per cui , cioè per .
Il suo dominio perciò è: