Cosa sono le funzioni e come si definiscono le funzioni pari e dispari

In quest'appunto troverai tutte le informazioni necessarie a comprendere come distinguere le funzioni pari da quelle dispari, con relativi esempi. E' inoltre presente una breve ricapitolazione sulle funzioni in generale.

Cosa sono le funzioni e come si classificano

Le funzioni sono delle relazioni che coinvolgono due insiemi, chiamati dominio

e codominio

. Esse associano ad ogni elemento del primo uno e un solo elemento del secondo gruppo. In termini matematici, questa definizione può essere espressa come:

per cui ogni elemento che tale relazione associa a un elemento del dominio può essere indicato come

.

Classificare le funzioni è fondamentale poiché permette di valutare in maniera corretta il loro dominio. La prima grande suddivisione può essere effettuata tenendo conto dell'argomento della funzione matematica. Esistono, infatti:

• le funzioni algebriche. Queste presentano come argomento solo ed esclusivamente operazioni elementari e per questo motivo appartengono a tale gruppo i polinomi come
  [math]y=x^2+2x+1[/math]
  , ma anche le frazioni algebriche, le funzioni irrazionali intere e le funzioni irrazionali fratte. In questo caso, valutare il dominio è abbastanza semplice. Nel caso delle equazioni polinomiali semplici, il dominio corrisponde all'insieme dei numeri reali
  [math]R[/math]
  . La situazione si complica quando sono presenti radici o frazioni: nel caso delle radici, infatti, si pone l'argomento sotto radice maggiore o uguale a zero mentre nel caso delle frazioni si deve imporre il denominatore diverso da zero. In questo modo si escludono tutte le soluzioni infinite e non reali
• le funzioni trascendenti, cioè tutte le funzioni matematiche non algebriche. Fanno parte di questo gruppo tutte le funzioni che presentano nell'argomento espressioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche. In questo caso, per definire il dominio bisogna osservare ogni singolo caso. Nel caso delle funzioni trigonometriche
  [math]y=cos(x)[/math]
  e
  [math]y=sen(x)[/math]
  sono sempre definite nei numeri reali, mentre per la tangente bisogna escludere dal dominio i punti in cui il coseno si annulla (cioè
  [math]x\neq -\pi/2+2k\pi[/math]
  ) per evitare le soluzioni infinite. Nel caso delle logaritmiche, invece, l'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di zero affinché esso sia definito.

Come distinguere una funzione pari da una funzione dispari

Per distinguere una funzione pari da una funzione dispari bisogna osservare con attenzione come cambia il segno del valore di

, variando il segno dell'elemento preso dal dominio. In particolare se

quindi

, si può definire la parità o la disparità di una funzione:

• Una funzione
  [math]f[/math]
  di equazione
  [math]y=f(x)[/math]
  , definita in un dominio
  [math]D[/math]
  , si dice pari se, per qualsiasi
  [math]x\in D[/math]
  , si ha
  [math]f(-x) = f(x)[/math]
  . La funzione pari è simmetrica rispetto all'asse
  [math]y[/math]
• Una funzione
  [math]f[/math]
  di equazione
  [math]y=f(x)[/math]
  , definita in un dominio
  [math]D[/math]
  , si dice dispari se, per qualsiasi
  [math]x\in D[/math]
  , si ha
  [math]f(-x) = -f(x)[/math]

La funzione dispari quindi è simmetrica rispetto all'origine degli assi.

Esempi di funzioni pari e di funzioni dispari

Ecco una serie di esempi di funzione dispari:

, questa è la nostra funzione nella forma

.
Cosa accade se cambiamo il segno dell'elemento del dominio

? Accade che

e che quindi [

]. Da ciò discende che la funzione

è una funzione dispari.

Passiamo adesso alla funzione

, cui dominio è

. Considerando gli elementi del dominio di segno inverso si ha che

. Per questo motivo possiamo affermare che
[

] e che quindi la funzione

è una funzione dispari .

Per quanto riguarda le funzioni pari, invece, un esempio è la funzione

. In questo caso, essendo presenti nell'argomento una serie di potenze dall'esponente pari, avere un valore di

o positivo è ininfluente. Aldilà del tipo di argomento, il risultato della potenza sarà sempre positivo.

Infatti

quindi

e quindi il dominio della funzione è

. Da ciò discende che f(-x) =

=

= f(x). Dopo aver ottenuto ciò possiamo dire con certezza che la funzione

è una funzione pari.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni pari e dispari vedi anche qua