Assiomi del punto e della retta

In questo appunto di geometria si tratta degli assiomi del punto e della retta. Assiomi o postulati sono alla base della geometria euclidea, la cui nascita si fa risalire agli egizi e con finalità esclusivamente pratiche, come ci narra Erodoto e poi la sua diffusione avvenne nell’antica Grecia ad opera prima di Anassimandro di Mileto e poi del filosofo Platone.

Come è nata la geometria?

Quando andiamo in montagna o al mare spesso ci capita di assistere a spettacoli naturali come un tramonto o una notte stellata.

Forse i nostri antenati alzando gli occhi al cielo o gettando lo sguardo verso l’orizzonte hanno iniziato a scrutare gli elementi e gli eventi della natura, ecco che il sole nel suo movimento percorreva una linea curva nel cielo, la separazione tra terra e cielo era proprio una linea dritta. Avranno osservato che una foglia o un frutto maturo cadendo dall’albero seguono traiettorie diverse, avranno notato la differenza tra la solidità del tronco di una pianta e la sottigliezza di una foglia.
La geometria è nata presumibilmente così, dalle osservazioni attente di fenomeni che accadevano. Poi le osservazioni sono diventate conoscenze di carattere pratico e poi sono state raccolte e strutturate in teorie in grado di ordinare i pensieri le azioni degli uomini e dei popoli. Queste conoscenze hanno permesso la creazione di opere grandi e piccole che ancora oggi ci affascinano. Pensiamo ad esempio al complesso megalitico di Stonehenge, risalente al neolitico; siamo in grado di riconoscere una disposizione circolare dei megaliti che si trovano più all’esterno e che racchiudono altri megaliti i quali segnano una direzione particolare quella nella quale sorge il sole nel solstizio d'estate.
Gli uomini della preistoria per costruire questo monumento hanno utilizzato due linee particolari la retta e la circonferenza, due delle parole fondamentali del linguaggio geometrico.
Le testimonianze degli storici concordano nel situare in Egitto l’origine della geometria. Come narra lo storico Erodoto, in Egitto a causa delle piene del fiume Nilo si verificavano fenomeni di erosione e di deposito e tutto ciò faceva variare ogni anno l'estensione delle proprietà terriere. Per motivi fiscali queste dovevano essere ricalcolate e perciò il faraone mandava dei funzionari che osservavano e misuravano di quanto il terreno era divenuto più piccolo o più grande. Nacque così il bisogno di inventare delle tecniche di misura della terra da cui il significato originario del termine geo=terra e metro=misura. Ad opera del filosofo Platone la geometria si diffuse presso l’antica Grecia, dove fornì gli strumenti per lo sviluppo di altre discipline come la geografia, l'astronomia, l'ottica e la meccanica. La geometria euclidea assume come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, da questi assiomi poi vengono dedotti gli altri teoremi come il teorema di Pitagora.
Per ulteriori approfondimenti sui fondamenti della geometria euclidea vedi qua

Cosa significa il termine assioma?

Cerchiamo di capire il significato di assioma.
In primis possiamo dire che con questo termine si vuole intendere un'affermazione che non si dimostra in quanto è un principio di base universalmente accettato.
Se ci viene chiesto di tracciare un punto oppure una linea retta su di un foglio, che rappresenta il piano, siamo capaci di farlo perché in modo del tutto intuitivo questi concetti ci appartengono.
In geometria, il punto la retta e il piano sono definiti enti primitivi perché sono gli enti geometrici di partenza attraverso i quali vengono definiti nuovi enti. Per gli enti primitivi non vi è una definizione esplicita.
Quando tracciamo un punto sul foglio, non possiamo dire che quello è il vero punto, come elemento fondamentale della geometria, non conosciamo le sue dimensioni reali, quel minuscolo segno che lasciamo sul foglio è soltanto una sua rappresentazione.
Il punto infatti è da intendersi senza estensione e senza dimensione, in pratica non dovremmo essere in grado di poterlo tracciare. Il punto c’è ma non si vede.
Nella geometria i punti vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto. Scriviamo

per indicare gli estremi di un segmento, scriviamo O per individuare l’origine di una semiretta, scriviamo

per indicare i vertici di un quadrilatero e così via.
Per tracciare un punto basta dunque lasciare un segno, il più piccolo possibile, ad esempio con la matita.
Per tracciare un segmento occorre avere a disposizione un oggetto che abbia la stessa forma del segmento, cioè che abbia un profilo dritto, un qualunqe oggetto di questo genere è la riga o il righello. Anche il profilo di un libro con la copertina rigida può essere utilizzato come riga. Se tracciamo due punti esiste sempre un segmento che li unisce.

Assiomi e teoria assiomatica

. Affinché una proposizione sia un assioma deve soddisfare due condizioni importanti: la compatibilità e l'indipendenza.
Dire che due assiomi sono compatibili significa che non devono contraddirsi l’uno con l’altro.
Dire che due assiomi sono indipendenti significa che dalle proprietà affermate dal primo non è possibile poter dedurre le proprietà affermate dal secondo e viceversa.
Una teoria assiomatica si basa su tre aspetti fondamentali.

• Il primo consiste nella individuazione di concetti primitivi di prova
• Il secondo consiste nel fornire enunciati di questi assiomi.
• Il terzo, quello conclusivo, consiste nella dimostrazione dei teoremi servendosi dei postulati, della logica e della matematica.

Enti fondamentali: punto, retta, piano

Abbiamo detto che gli enti fondamentali della geometria non si definiscono perché sono concetti primitivi. In pratica essi esistono e per darne l’idea pensiamo a come li rappresentiamo. Quelli che tracciamo sul foglio da disegno non sono una rappresentazione perché si tratta di enti ideali, cioè ottenuti come astrazioni dal mondo fisico che ci circonda.
Il punto geometrico è un elemento senza dimensioni e indica solamente una posizione nello spazio, per dare l’idea del punto è sufficiente pensare al segno lasciato dalla punta di una matita, di una penna o di un compasso.
Una linea è un insieme continuo e infinito di punti, la sua dimensione è la lunghezza. Una matita lascia una traccia su di un foglio che ci dà l’idea di una linea che indichiamo con una minuscola in stampatello:

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Se una linea è un insieme infinito di punti allora non ha origine e neppure una fine, per dare l’idea di questa infinità disegniamo un tratteggio all’inizio e alla fine della linea. Quando la linea mantiene sempre la stessa direzione la definì is o linea retta o semplicemente retta.
Il piano è un insieme continuo e infinito di rette. Si estende in due dimensioni che sono la larghezza e la lunghezza.
Se anche un piano è infinito come possiamo rappresentarlo?
Pensiamo al foglio da disegno, alla lim sulla parete dell’aula, al vetro di una finestra. Sono tutte superfici piane.
I piani vengono indicati con minuscole dell’alfabeto greco

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Per ulteriori approfondimenti sulla retta vedi qua

Assiomi di esistenza e di appartenenza

Come abbiamo già anticipato, la geometria euclidea si fonda su assiomi o postulati, cioè delle affermazioni che sono vere per evidenza immediata.
Un assioma, è una affermazione che si considera palesemente vera, e quindi che non deve essere - e non viene - dimostrata.
Gli assiomi sono l’inizio di tutto. Se cambia uno di essi, tutto quanto "viene dopo" (teoremi e regole), non risulta più vero. Ogni altra affermazione che non sia un assioma e di cui occorre accertare la verità si chiama teorema.
Vediamo ora quali sono gli assiomi fondamentali relativi al punto e alla retta.
Primo postulato fondamentale di esistenza: esistono infiniti punti, infinite rette e infiniti piani.
Postulati di appartenenza
Riportiamo i cinque postulati di appartenenza

1. Ad ogni retta appartengono almeno due punti, ad ogni piano appartengono almeno tre punti distinti e non allineati
2. Due punti distinti appartengono a una e una sola retta
3. Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano e a uno solo
4. Data una retta su di un piano, allora esiste almeno un punto del piano che non appartiene alla retta
5. Se una retta passa per due punti di un piano allora appartiene al piano

Da questi postulati deduciamo quanto segue:
Se segniamo sul foglio un punto A e tracciamo con una riga alcune rette passanti per A; ci rendiamo conto che possiamo disegnarne delle altre, quante ne vogliamo (figura ).

Per un punto passano infinite rette
Se segniamo sul foglio due punti A e B e tracciamo con una riga la retta che li unisce, ci rendiamo conto che questa è unica (figura).
deduciamo dal primo postulato di appartenenza che:
Per due punti distinti passa una sola retta
Se sul piano

costituito da un foglio segniamo due punti distinti A e B, e tracciamo con una riga la retta r che li unisce, ci rendiamo conto che essa giace tutta sul piano (figura). Abbiamo rappresentato il quinto postulato di appartenenza
Se una retta ha in comune con un piano due punti, essa giace tutta sul piano.

Per ulteriori approfondimenti sui postulati vedi qua