Punto medio e spezzate

In questo appunto vedremo dapprima la definizione di due enti geometrici molto importanti: il punto medio e la spezzata. Sono enti geometrici che derivano dagli enti primitivi della geometria euclidea, descritti negli Elementi di Euclide: il punto, la retta e il piano.

Punto medio e spezzate

Ha senso parlare di punto medio quando parliamo del punto medio di un segmento. In particolare, il segmento è una porzione di retta delimitata da due punti distinti chiamati estremi. Solitamente questi estremi sono indicati con le lettere maiuscole: .
Il punto medio di un segmento è definito come il punto appartenente a tale segmento che ha la stessa distanza dai due estremi. Naturalmente, è importante specificare che il punto medio di un segmento sta sul segmento stesso; poiché esistono infiniti punti che hanno la stessa distanza da due estremi di un segmento (sono i punti che appartengono all'asse del segmento

[math] AB [/math]

.)
Una spezzata è invece un insieme di segmenti aventi degli estremi in comune. In particolare, una spezzata può essere:

• Chiusa: se uno degli estremi del primo segmento della spezzata coincide con uno degli estremi dell'ultimo segmento della spezzata;
• Aperta: se i due punti sopra menzionati non sono coincidenti.

Infatti, un triangolo, così come un quadrato, o un pentagono, sono degli esempi di spezzate chiuse.

Per approfondimenti sull'asse di un segmento, vedi anche qua

Assioma del trasporto di un segmento: determinazione del punto medio

Secondo l'assioma del trasporto di un segmento; se nel trasportare un segmento su un altro segmento avviene che l'estremo del segmento cade a metà del segmento , esso divide in due parti uguali e si dice pertanto punto medio del segmento (vedi figura).

Dal disegno sopra, risulta che

è il doppio di

[math] AM [/math]

; in altre parole, che

, uguale a , è un mezzo (o la metà) di

[math] AB [/math]

. In simboli:
Ad esempio, se avessimo un segmento di lunghezza , se prendessimo il punto medio di , avremmo che ; mentre .
Con la formula inversa sarà poi possibile risalire alla lunghezza del segmento originale avendo a disposizione solo la lunghezza del segmento che congiunge il punto medio con un suo qualsiasi estremo.

La costruzione del punto medio di un segmento

Supponiamo di voler costruire, con riga e compasso, il punto medio di un segmento generico .
Occorre effettuare le seguenti costruzioni geometriche nel seguente ordine (vedi anche foto):

• con apertura di compasso maggiore della metà di
  [math] AB [/math]
  , si punta in
  [math] A [/math]
  e in
  [math] B [/math]
  (sempre con la stessa apertura!) e si descrivono due archi che intersechino
  [math] AB [/math]
  e si intersechino fra loro. (Difatti, l'apertura di compasso strettamente maggiore della metà della lunghezza del segmento
  [math] AB [/math]
  è strettamente necessaria per garantirci l'esistenza dell'intersezione tra i due archi così descritti in questo punto);
• con un righello si traccia la retta
  [math] r [/math]
  congiungente i punti di intersezione dei due archi,
  [math] H [/math]
  e
  [math] K [/math]
  . (La retta così tracciata è chiamata asse del segmento
  [math] AB [/math]
  ed essa è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa distanza dagli estremi del segmento in esame);
• determinare l'intersezione tra
  [math] r [/math]
  e il segmento
  [math] AB [/math]
  . Tale punto, il punto
  [math] M [/math]
  , risulterà essere il punto medio dello stesso segmento.

Le spezzate

Come detto sopra, una linea formata da più segmenti a due a due consecutivi si chiama spezzata.
Tali segmenti si dicono lati della spezzata; i loro estremi si chiamano vertici (vedi figura).

Oltre che aperta o chiusa, una spezzata può essere anche semplice o intrecciata. Se infatti due lati non consecutivi della spezzata si incontrano in un punto, si dice che la spezzata è intrecciata . Altrimenti, una spezzata non intrecciata è detta semplice.
Una spezzata chiusa semplice prende il nome di poligonale.

Per approfondimenti sui poligoni, vedi anche qua