Fondamenti di geometria euclidea: definizioni, teoremi e postulati

In questo appunto di Geometria verranno date le definizioni e i postulati che stanno alla base di tutta la Geometria Euclidea, partendo da una generica introduzione nel paragrafo seguente.

Introduzione alla Geometria Euclidea

Per capire e studiare la geometria euclidea dobbiamo prima conoscere alcuni aspetti fondamentali che ci permetteranno di muoverci meglio nel “linguaggio geometrico”.
Prima di tutto, introduciamo i concetti di: definizione e concetto primitivo.

• Definizioni: a differenza delle definizioni che conosciamo nel “linguaggio italiano”, le definizioni matematiche, e quindi anche geometriche, sono univoche, cioè ogni termine ha uno e un solo significato. Ogni definizione, inoltre, contiene solo termini già definiti in precedenza.
• Concetti primitivi: un concetto primitivo è un concetto privo di definizione in quanto, essendo intuitivo, se ne presuppone chiaro e indubbio il significato. I concetti primitivi possono essere di natura geometrica (come punto, retta, piano, spazio), o di carattere insiemistico (come insieme, elemento, relazione di appartenenza ecc…).

In genere, per indicare gli enti geometrici, cioè i concetti primitivi utilizzati in geometria, si usano le lettere, e in particolare:

• lettere maiuscole per i punti;
• lettere minuscole per le rette;
• lettere greche per i piani.

Inoltre, abbiamo che i punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati, mentre i punti che appartengono ad uno stesso piano si dicono complanari.
Dopo questa breve introduzione, possiamo adesso passare al prossimo paragrafo dove sono presenti gli enunciati di alcuni teoremi con relative dimostrazioni.

Teoremi e dimostrazioni in geometria euclidea

In generale, un teorema, che sia matematico o meno, è costituito da una proposizione che viene dimostrata seguendo un ragionamento logico e/o matematico. Le affermazioni o preposizioni che vengono dimostrate, prendono il nome di teoremi, mentre le loro giustificazioni o ragionamenti logici che si eseguono per arrivare ad affermare il teorema, si chiamano dimostrazioni.
I teoremi hanno solitamente questa forma:

• vi è un'implicazione del tipo
  [math]A \rightarrow B[/math]
  ( e si legge " A implica B " ), che viene definita enunciato del teorema;
• il primo termine dell'enunciato ( A ) è detto ipotesi;
• il secondo termine dell'enunciato ( B ) è detto tesi;
• il ragionamento logico-deduttivo che porta ad affermare la veridicità dell'implicazione o dell’enunciato del teorema, è la dimostrazione.

Oltre ai teoremi si parla spesso anche di lemmi e corollari; in particolare, abbiamo:

• Lemma: è un teorema di “minore importanza” che spesso si utilizza all'interno di una dimostrazione per un teorema più importante;
• Corollario: è una conseguenza immediata di un teorema che è stato precedentemente dimostrato.

Date queste definizioni che seguono quella di teorema, nel prossimo paragrafo vedremo invece, qualche esempio di postulati.

Postulati di appartenenza

I postulati, sono delle affermazioni riguardanti enti primitivi che vengono accettate come vere e, al contrario dei teoremi, non necessitano di dimostrazione. Vediamo adesso quali sono i postulati su cui si basa la geometria euclidea:

• Postulato 0: lo spazio è l'insieme di tutti i punti; rette e piani sono sottoinsiemi dello spazio. Una retta contiene infiniti punti, un piano contiene infinite rette, uno spazio contiene infiniti piani.
• Postulato 1: per due punti distinti passa una e una sola retta.
• Postulato 2: per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
• Postulato 3: se due punti di una retta appartengono ad un piano, allora tutti i punti della retta appartengono a quel piano ( la retta appartiene al piano).

Dal postulato 1 ne consegue che due rette distinte non possono avere più di un punto in comune; quindi, date due rette r ed s, esse possono essere:

• incidenti se hanno un punto in comune; in questo caso si dice che le rette si intersecano in quel punto, e il punto si dice punto di intersezione;
• non incidenti se non hanno alcun punto in comune, quindi non si intersecano mai. Due rette che giacciono sullo stesso piano e che non si intersecano in nessun punto prendono il nome di rette parallele.

Un teorema che deriva da questi postulati è il seguente: per un punto passano infinite rette. Inoltre, l'insieme di tutte le rette passanti per un punto è detto fascio di rette, o anche fascio proprio di rette; il punto comune a tutte le rette è detto centro del fascio.
Un fascio improprio di rette è, invece, costituito da una retta e da tutte le rette parallele ad essa.
Ad ogni modo, quelli appena visti sono i postulati di appartenenza e definiscono i legami tra gli enti geometrici; nel prossimo paragrafo invece, vedremo i postulati d’ordine.

Postulati d'ordine

Postulato 4: tra i punti di una retta è possibile stabilire una relazione di ordine totale, cioè si possono ordinare i punti di una retta. In particolare, dati due punti A e B appartenenti ad una retta r, abbiamo che:

• o A e B coincidono, o A precede B, o B precede A; questa viene anche detta proprietà di tricotomia;
• se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva).

Postulato 5: su una retta orientata ogni punto è seguito da almeno un altro punto ed è preceduto da almeno un altro punto. In geometria, una retta su cui è stato scelto un verso di percorrenza si dice retta orientata.
Postulato 6: tra due punti di una retta è compreso almeno un terzo punto.
Nel paragrafo successivo è sono presenti dei link relativi al materiale di approfondimento che potete utilizzare in supporto a questo appunto di geometria euclidea.

Materiale di supporto o approfondimento

Approfondimento del V postulato di Euclide (fonte Wikipedia).
Gli Elementi di Euclide (scaricabili, in formato PDF) a cura di Carlo Sintini.
Articolo di approfondimento: "Le proposizioni 24 e 21 degli Elementi di Euclide e alcuni assiomi mancanti" (tratto dal Magazine di Matematicamente).
La figura di Euclide.
[caption id="attachment_14676" align="alignleft" width="253"] Fonte Wikipedia
Approfondimento sui postulati fondamentali di geometria.
Video introduttivo alla geometria euclidea (utile per imparare la terminologia in lingua inglese).