Meccanica dei Fluidi - Portata

In questo appunto di fisica, ci occupiamo di dinamica di fluidi. Vedremo la definizione del modello di fluido ideale e il concetto di portata volumetrica riferita ad un fluido in movimento. Il movimento dei fluidi reali è complicato e ancora non del tutto conosciuto ecco perché è necessario ricorrere al modello di un fluido ideale il cui moto è più semplice da descrivere da un punto di vista matematico.

Fluidodinamica, definizioni di base

La parte della fisica che si occupa dello studio del moto dei fluidi si chiama fluidodinamica o idrodinamica, per distinguerla dalla idrostatica che invece studia i fluidi quando sono in quiete.
Quando bisogna analizzare situazioni reali come ad esempio una folata di vento oppure la benzina che esce da una pompa, è indispensabile studiare il movimento del fluido nella sua totalità.

Sebbene i fluidi siano costituiti a livello microscopico da molecole di cui conosciamo le semplici leggi dinamiche non sempre siamo in grado di derivare da queste leggi fondamentali quelle che regolano il comportamento collettivo della massa fluida. Per affrontare l’argomento si introduce un modello semplificativo che è valido sotto alcune approssimazioni, si tratta del modello del fluido ideale.
Da un punto di vista statico i fluidi reali e quelli ideali si comportano in maniera analoga, la distinzione diventa importante solo in un contesto dinamico.
Un fluido ideale, gode per definizioni di due proprietà:

1. È incomprimibile, questo significa che nonostante ci sia una variazione di pressione il suo volume non varia, resta costante, non è possibile schiacciare un fluido ideale.
2. Ha viscosità nulla, questo significa che le sue parti si possono muovere relativamente le une rispetto alle altre senza alcuna forma di attrito interno.

Per ulteriori approfondimenti sulla viscosità vedi anche qua

Comportamento dei fluidi reali

Per quanto riguarda la proprietà di incomprimibilità dobbiamo fare una distinzione nell’ambito dei fluidi ovvero tra liquidi e gas. Un liquido reale, è in buona approssimazione incomprimibile, mentre lo stesso non si può dire dei gas.
Per quanto riguarda la viscosità, liquidi reali presentano sempre un certo grado di viscosità; solo quando questa caratterista non influisce in maniera determinante sul loro moto allora il loro comportamento si avvicina al modello di fluido ideale. Nello studio del moto di un fluido, bisogna fare ancora un’altra ipotesi semplificativa, bisogna considerare che il flusso del fluido sia stazionario, cioè che la velocità in ogni punto non vari nel tempo ma può essere comunque diversa da punto a punto.

Per ulteriori approfondimenti sulla meccanica dei fluidi vedi qua

Moto stazionario dei fluidi

Se volessimo descrivere il moto di un corso d’acqua, ad esempio un fiume, potremmo pensare di applicare il secondo principio della dinamica ad ogni goccia d'acqua che scorre nel suo alveo. Le difficoltà sarebbero insormontabili, visto che dovremmo risolvere un numero enorme di equazioni non solo ma dovremmo tener conto anche delle interazioni tra una goccia e l'altra.
Sotto certe condizioni tuttavia le leggi di Newton unitamente ai principi di conservazione forniscono una descrizione semplice dei fluidi in movimento. Ecco perché abbiamo introdotto il modello di fluido ideale, un fluido privo di attrito interno cosicché le sue particelle possano muoversi liberamente l'una rispetto all'altra con interazioni trascurabili, e un fluido incomprimibile, cioè di densità costante nel tempo e uniforme nello spazio.
Il moto stazionario di un fluido è un tipo di movimento le cui proprietà praticamente non variano con il passare del tempo. Un fluido compie un moto stazionario se tutte le sue particelle, quando passano per uno stesso punto, hanno la stessa velocità che tuttavia può variare comunque da un punto a un altro.

Per ulteriori approfondimenti sul moto stazionario dei fluidi vedi qua

Linee di corrente e tubo di flusso

Ogni particella del fluido in moto stazionario descrive una traiettoria che viene definita linea di corrente la direzione di ogni linea coincide, punto per punto con la direzione del vettore velocità delle particelle.
Se il condotto all’interno del quale si sta muovendo il fluido ha una sezione costante allora le linee di corrente sono tutte rette parallele tra loro. Se un condotto è a sezione variabile, in prossimità di un restringimento c'è una diminuzione della sezione e quindi le linee di corrente si infittiscono mentre si diradano quando la sezione si allarga, e la distanza reciproca aumenta.
Un insieme di linee di corrente delimita un tubo di flusso, nel quale il fluido scorre come in un condotto, senza mescolarsi con quello che scorre all’esterno. Esaminando il suo moto, in tutti i punti di qualsiasi sezione perpendicolare a un condotto OA un tubo di flusso, la velocità di un fluido ideale assume lo stesso valore.

Portata di un fluido

. Se non fosse così, ammettendo che il condotto non abbia alcun tipo di perdita ne contenga delle sorgenti al suo interno, il fluido subirebbe delle rarefazioni o degli addensamenti in alcune regioni e ciò andrebbe contro l'ipotesi della sua incomprimibilità.
Definiamo portata del condotto il rapporto tra il volume di fluido

che lo attraversa in un certo intervallo di tempo

e l’intervallo di tempo stesso, in simboli matematici possiamo scrivere quanto segue:

Ci sono diversi tipi di portata

• la portata di volume (quantità di volume di fluido in un intervallo di tempo);
• la portata di massa (la quantità di massa di fluido in un intervallo di tempo);
• la portata di … (la quantità di … che attraversa …)

In generale, la parola portata è seguita da un “di qualcosa” che specifica a quale portata ci si riferisce, ovvero di quale grandezza fisica si vuole studiare il trasporto.

Relazione tra portata di massa e di volume

Le grandezze massa e volume sono legate attraverso la densità dalla seguente relazione:

Sotto l’ipotesi di densità costante in caso di fluido incomprimibile le espressioni della portata di massa e di volume si distinguono solo per il fattore moltiplicativo

.
Per caratterizzare una portata consideriamo una superficie fissa attorno a una certa porzione di fluido; la portata di massa è la quantità di massa che entrerà o uscirà dalla superficie. Mostriamo ora che la quantità di massa

che attraversa la superficie S in un intervallo di tempo

è uguale al prodotto:

Dove

[math]\overrightarrow {v}[/math]
è il vettore velocità del fluido,

[math]\overrightarrow {S}[/math]
è la superficie orientata.

Convenzionalmente la direzione del vettore superficie è ortogonale alla superficie stessa ed è positiva nel verso uscente.
Per ulteriori approfondimenti sul concetto di densità e peso specifico vedi qua

Esempi di calcolo della portata di massa del fluido

Partiamo da un caso semplice: il fluido è in moto con velocità costante e uniforme di modulo v, e attraversa una superficie di area S posta perpendicolarmente alla velocità.
La quantità di volume di fluido

che attraversa la superficie nel tempo

, è rappresentata dal volume del parallelepipedo con spigolo di base uguale a

di superficie laterale S:

Moltiplicando il volume per la densità otteniamo il valore della massa:

Dividendo per l'intervallo di tempo abbiamo la massa unitaria:

Nel caso più generale quando il vettore velocità non è perpendicolare alla superficie S, si tiene conto della quantità effettiva di fluido che attraversa la superficie mediante il prodotto scalare:

La direzione della superficie è individuata dalla sua normale e il verso è quello esterno se la superficie è chiusa.
Il caso più complesso è quello in cui sia la velocità che la densità non sono uniformi lungo la superficie, oppure la superficie non è contenuta in un piano ma curva. In questi casi bisogna fare necessariamente uso degli integrali.