come calcolare gli integrali

Calcolo integrale


Questo appunto non ha la pretesa di essere una guida esaustiva ed esplicativa del concetto di integrale; vuole piuttosto rappresentare uno schema quanto più possibile completo, per il supporto allo svolgimento degli esercizi.

Prima però di dare tutte le formule utili, diciamo che l'integrale di una funzione f(x) ci da la misura dell'area che si crea tra l'asse delle ascisse e il grafico della funzione.
Quando l'integrale esiste la funzione si dirà integrabile) , in particolare, sarà positivo se la funzione è sopra l'asse x, negativo se è sotto.

Può capitare, poi, che l'integrale di f sia esprimibile con un'altra funzione, detta primitiva di f.


Sia

[math]R^*=[-\infty,+\infty][/math]
, ossia R esteso includendo anche
[math]\pm \infty[/math]
, e siano
[math]a,b\in R^*[/math]
; l'integrale di una funzione
[math]f:D\subseteq R \rightarrow R[/math]
rispetto alla sua variabile x, calcolato da
[math]a[/math]
a
[math]b[/math]
si scrive come
[math]\int _{a }^{b }{ f(x) dx } [/math]

e rappresenta l'area del grafico sotteso alla curva f, calcolata dal punto a al punto b, che sono detti estremi di integrazione. Questo si chiama integrale definito e, se esiste la primitiva della nostra funzione, che chiameremo F, il teorema fondamentale del calcolo integrale ci garantisce che posso calcolare semplicemente il valore di questo integrale mediante la seguente formula:
[math]\int _{a }^{b }{ f(x) dx } = F(b)-F(a)[/math]

É possibile anche calcolare un integrale senza definire gli estremi di integrazione, in tal caso l'integrale si dirà indefinito e, se si conosce la primitiva della funzione f, si può calcolare come:
[math] \int _{ }^{ }{ f(x) \ dx } = F(x) + c,
[/math]

dove c\in R è una costante che dipende proprio dal fatto di non aver definito gli estremi. In questo caso il risultato non sarà più un numero, ma una funzione della variabile di integrazione x.

Da come potete intuire, quindi, il problema del calcolo degli integrali, si riduce spesso al problema di trovare una primitiva per la funzione che sto integrando; per questo motivo il calcolo delle primitive comprende buona parte dello studio delle scuole superiori relativo agli integrali.

Vediamo quindi come calcolare le primitive.
Prima di procedere è necessario fare luce sul significato di primitiva. Dire che F è primitiva della funzione f, vuol dire che

[math]\frac{dF}{dx}=f(x).[/math]

In altre parole, la primitiva della funzione che sto integrando, è una funzione la cui derivata è data proprio f(x).

Questo ci fa capire la relazione che intercorre tra integrali e derivate e suggerisce anche che è bene, prima di approcciarsi allo studio integrale, avere ben chiaro il calcolo delle derivate, per evitare di fare confusione e di perdersi tra le formule e sul loro significato. Se non ti senti sicuro ripassa l'argomento cliccando qui

Calcolo delle primitive

Nonostante possa sembrare ostico, non preoccuparti: proprio come avveniva per le derivate, esistono delle regole che ci aiutano a calcolare le primitive di alcune funzioni, e queste poi ci aiutano nel calcolo di quelle più generali.
Inizieremo con le tabelle delle primitive, a seguire alcune regole di integrazione, evidenzieremo proprietà degli integrali e termineremo con alcuni esempi.

Elenchiamo le primitive più semplici (nelle quali considero sempre x come variabile di integrazione):

[math]
\begin{array} {|c|c|} \hline
funzione & primitiva\\
\hline
x^\alpha & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\
\hline
e^x & e^x\\
\hline
\frac{1}{x} & ln|x|\\
\hline
sinx & -cosx\\
\hline
cosx & sinx\\
\hline
\frac{1}{cos^2(x)} & tgx\\
\hline
\frac{1}{(x^2+k^2)} & \frac{1}{k}arctg(\frac{x}{k})\\
\hline
\frac{1}{\sqrt{k^2-x^2}} & arcsinx\\
\hline
\end{array}
[/math]


Da queste primitive di base, si ricavano le seguenti forme generalizzate:


[math]
\begin{array} {|c|c|} \hline
funzione & primitiva\\
\hline
f'(x)f(x)^\alpha & \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\
\hline
f'(x)e^f(x) & e^f(x)\\
\hline
\frac{f'(x)}{f(x)} & ln|f(x)|\\
\hline
f'(x) sin(f(x)) & -cos(f(x))\\
\hline
f'(x) cos(f(x)) & sin(f(x))\\
\hline
\frac{f'(x)}{cos^2(f(x))} & tg(f(x))\\
\hline
\frac{f'(x)}{(f(x)^2+k^2)} & \frac{1}{k}arctg(\frac{f(x)}{k})\\
\hline
\frac{f'(x)}{\sqrt{k^2-f(x)^2}} & arcsin(f(x))\\
\hline
\end{array}
[/math]

Integrale della somma

Se ho l'integrale della somma, questo è uguale alla somma degli integrali:

[math]\int _{a }^{b }{ (f(x) + g(x))dx } = \int_{a}^{b}{f(x)dx}+ \int_{a}^{b}{g(x)dx}[/math]

Integrazione per parti

Se ho l'integrazione di un prodotto, di cui conosco almeno una primitiva posso applicare

[math] \int_{a}^{b}{f'(x) g(x) dx}=f(x) g(x)|_a^b- \int_a^b{f(x)g'(x)},[/math]

dove la scrittura
[math]f(x) g(x)|_a^b[/math]
, vuol dire che il prodotto tra le funzioni va calcolato tra gli estremi a e b, ossia:
[math]f(x) g(x)|_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a).\\[/math]

Principali proprietà

[math]
\int_a^bf(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx, \ \ se \ \ c\in(a,b);\\
\int_a^b\alpha \ f(x) dx= \alpha \int_a^b f(x) dx; \\
\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx.
[/math]

Procediamo con qualche esempio per cercare di coprire tutti i procedimenti più tipici che ricorrono nel calcolo degli integrali.


Esempi

1)

[math]\int x e^{x^2} \\
[/math]

Osservo che sembra il secondo caso presente nella tabella delle primitive generalizzate, dove la funzione a potenza dell'esponenziale è
[math]x^2[/math]
.
La derivata di tale funzione è
[math]2x[/math]
, quindi ci manca solo il 2 per poter applicare la formula. Decido quindi di moltiplicare e dividere per 2
[math]\int x e^{x^2} = \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2}= \frac{1}{2} e^{x^2} + c[/math]

2)
[math]\int ln(x) \ dx\\[/math]

Applico la formula di integrazione per parti considerando f'(x)=1 , quindi f(x)=x, e g(x)=ln(x), quindi g'(x)=\frac{1}{x}:
[math]\int ln(x) \ dx = x \ ln(x) - \int x \frac{1}{x} dx = x \ ln(x) - x + c [/math]

3)

[math]\int sin^2 x dx\\[/math]

Derivo per parti, individuando f'(x)=sinx e g(x)=sinx. Applico la formula e trovo

[math]\int sin^2 x dx= - sinx \ cosx + \int cos^2 x dx .
[/math]
Mi scrivo
[math]cos^2x[/math]
come
[math]1-sin^2x[/math]
da cui:
[math]\int sin^2 x dx= -sinx\ cosx + \int 1 dx -\int sin^2x dx.
[/math]

A questo punto osservo che ho ottenuto di nuovo lo stesso integrale che stavo cercando, quindi lo considero come la mia variabile e lo sposto a sinistra dell'uguale, ottenendo:
[math]2 \int sin^2 x dx= -sinx\ cosx + x +c,
[/math]

quindi
[math]\int sin^2 x dx= \frac{-sinx\ cosx + x}{2} +c. \\
[/math]

Integrazione per sostituzione

Insieme alla regola di derivazione per parti, un altro metodo spesso utilizzato negli integrali è il metodo di sostituzione, che consiste nell'individuare una certa funzione g(x), all'interno della funzione f(x), che, sostituita opportunamente rende il mio integrale più semplice. Da un punto di vista matematico, se g(x) è derivabile, allora:

[math]\int f(g(x)) dg(x) = \int f(t) dt = F(t) + c = F(g(x)) + c. [/math]

Facciamo un esempio:
[math]\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}[/math]

Definisco t=\sqrt{x}, quindi x=t^2. Così definita, \frac{dx}{dt}=2t, da cui ricaviamo che dx=2tdt. Sostituiamo le informazioni nel nostro integrale e otteniamo
[math]\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\int \frac{2t^2}{t-1}dt=2 \int \frac{t^2 \pm 1}{t-1}dt = 2\left[ \int \frac{(t+1)(t-1)}{t-1}+ \int \frac{1}{t+1}\right]=\\
= t^2 +2t + ln|t+1|=x+2\sqrt{x}+ln|\sqrt{x}-1|, [/math]
in cui ho sfruttato dei trucchetti algebrici molto comuni nel calcolo degli integrali, come aggiungere o togliere una certa quantità e spezzarmi l'integrale in modo da ottenere pezzi risolvibili.


Integrazione di funzioni razionali

L'integrazione di funzioni razionali, ossia tutte quelle della forma

[math]\frac{P(x)}{Q(x)}[/math]
, con P(x) e Q(x) polinomi, è spesso complicata e occorre fare ricorso alle scomposizioni polinomiali studiate negli anni precedenti (oltre che a qualche trucchetto tipico nel calcolo degli integrali). Cercheremo di essere il più possibile esaustivi con il seguente esempio.
[math]
\int \frac{x+1}{x^2+5x+6}dx\\[/math]

L'idea è ovviamente quella di semplificarmi le cose, riuscendo a ritrovare delle funzioni di cui conosco le primitive. Cerco quindi di scomporre ai minimi termini i polinomi, in particolare il denominatore in questo caso, che posso scrivere come (x+3)(x+2). La cosa però non sembra particolarmente d'aiuto a un primo sguardo, poiché non posso semplificare con il numeratore, che mi avrebbe reso la vita molto più semplice. Vediamo allora come procedere.
Per ora abbiamo

[math]\int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)}dx,\\[/math]

vorremmo spezzare il mio integrale come somma di due integrali più semplici da risolvere, in altre parole trovare dei numeri A e B che mi consentano di scrivere la mia funzione
[math]\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}[/math]
come somma di due funzioni, cioè:
[math]\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+ \frac{B}{(x+3)}.\\[/math]

Per trovarli è semplice: faccio finta di conoscerli e mi sommo i due termini, ottenendo:

[math]\frac{A}{(x+2)}+ \frac{B}{(x+3)}=\frac{A(x+3)+B(x+2)}{(x+3)(x+2)}=\frac{Ax+Bx+3A+2B}{(x+3)(x+2)}.\\[/math]

Voglio però che il numeratore così ottenuto sia uguale a quello di partenza, quindi imposto A+B=1, che è il coefficiente del polinomio che ho al mio numeratore, e 3A+2B=1, che è il suo termine noto, ottenendo A=-1 e B=2.


Ora posso sostituirli e scrivere:

[math]\int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} dx =\int \frac{-1}{(x+2)} dx+ \int\frac{2}{(x+3)} dx = - ln |x+2| + 2 ln |x+3| + c.\\
[/math]

Ovviamente, gli esercizi in questo campo possono essere disparati e complessi, pertanto consigliamo al lettore di svolgere un gran numero di integrali e utilizzare questo appunto come guida per gli esercizi.

È bene osservare che una funzione può essere integrabile anche se non ne conosciamo una primitiva. Un tipico esempio è la campana di Gauss, cioè la funzione

[math]f(x)=e^{-x^2}[/math]
.
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