Concetti Chiave
- La viscosità è una grandezza fisica che misura l'attrito interno di un fluido, influenzando il suo moto. Nei gas, aumenta con la temperatura, mentre nei liquidi diminuisce.
- Il numero di Reynolds determina il tipo di moto di un fluido in un tubo, distinguendo tra flusso laminare e turbolento, ed è influenzato da densità, viscosità, velocità e diametro del tubo.
- In un flusso laminare, la portata è calcolata con la Legge di Poiseuille, che è direttamente proporzionale alla differenza di pressione e inversamente proporzionale alla viscosità.
- Nel regime turbolento, la portata è influenzata dalla formazione di vortici che dissipano energia, risultando inferiore rispetto a un flusso laminare a parità di condizioni.
- La legge di Darcy-Weisbach descrive la portata in regime turbolento, mostrando una dipendenza dal raggio del condotto e dalla viscosità inferiore rispetto al flusso laminare.
In questo appunto di Fisica si descrive la viscosità, le sue caratteristiche e si illustra come questa grandezza può influire sul moto di un fluido.
Indice
Definizione di viscosità
La viscosità è quella grandezza fisica derivata che misura l’attrito all’interno di un fluido, un gas o un liquido, per cui uno strato in movimento tende a trascinare con se quelli adiacenti a causa dell’attrito che si esercita fra le molecole della sostanza in esame.
Nelle sostanze gassose un aumento di temperatura è causa dell’aumento della viscosità, poiché all’aumentare della temperatura aumenta il moto termico. Nei liquidi, al contrario, temperatura e viscosità sono inversamente proporzionali poiché una maggiore temperatura diminuisce la coesione della molecole del liquido, favorendo lo scorrimento degli strati in movimento l’uno sull’altro.
Si consideri un fluido in moto e sia T la forza necessaria tale da mantenere una differenza di velocità
\Delta v
[/math]
tra due strati di fluido distanti fra loro
\Delta x.
[/math]
Tale forza T deve essere proporzionale alla variazione di velocità:
\frac{\Delta v}{\Delta x}
[/math]
ed alla superficie di contatto A.
Deve valere la seguente espressione:
T = \eta A \big(\frac{\Delta v}{\Delta x}\big)
[/math]
dove la quantità
\frac{\Delta v}{\Delta x}
[/math]
viene chiamata velocità di deformazione tangenziale o gradiente di velocità.
il fattore di proporzionalità che compare fra tali grandezze viene chiamato coefficiente di viscosità.
La precedente espressione esprime la Legge di Viscosità.
Le dimensioni della viscosità sono:
[m] [L]^{-1} [t]^{-1}
[/math]
ossia
(massa)(lunghezza)^{-1} (tempo)^{-1}.
[/math]
Le unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) sono
\frac{N \cdot s}{m^2}
[/math]
(newton al secondo per metro quadro), ma risulta più usata l’unità poise (simbolo P) che equivale a
0,1 \frac{N \cdot s}{m^2}:
[/math]
1 P = 0,1 \frac{N \cdot s}{m^2} = 0,1 P_a \cdot s.
[/math]
La grandezza
\eta
[/math]
viene chiamata viscosità dinamica. Se dividiamo tale grandezza per la densità del fluido in esame si ottiene la viscosità cinematica,
\nu:
[/math]
\nu = \frac{\eta}{\delta}.
[/math]
Tutti i fluidi che seguono perfettamente la legge di viscosità vengono chiamati fluidi newtoniani (ne sono per esempio una buona approssimazione l’acqua, il mercurio, l’alcol ed altri), ossia quando il legame tra lo sforzo di taglio ed il gradiente di velocità è costante:
T_t = \eta \big(\frac{\Delta v}{\Delta x}\big)
[/math]
mentre per alcuni liquidi (ad esempio alcune soluzioni acquose o gelatine) si osserva un comportamento differente e per queste sostanze la viscosità può dipendere anche dal tempo.
I viscosimetri sono gli strumenti atti alla misurazione della viscosità. Tali strumenti sfruttano lo scorrimento dei fluidi in tubi capillari di diametro molto piccolo o misurando il moto di caduta di sferette di massa e diametro perfettamente noti in recipienti contenenti la sostanza in esame.
Numero di Reynolds
Il numero di Reynolds è un parametro indicativo sulle condizioni di moto di un fluido all’interno di un tubo. Tale parametro è strettamente legato alla viscosità del liquido stesso.
In base al valore di tale parametro si può stabilire se il moto del fluido studiato è un moto laminare oppure si tratta di un moto turbolento.
Reynolds realizzò una semplice esperienza di laboratorio la quale consisteva in un contenitore cilindrico in cui è praticata un’apertura circolare ed a questa è collegata un tubo della lunghezza di un paio di metri. Quest’ultimo collegamento è realizzato in modo tale che da avere la minore contrazione della vena possibile ed in modo tale da poter trascurare ogni tipo di perturbazione possibile. All’interno del contenitore principale ne pose un altro, più piccolo, contenente lo stesso liquido, ma di un colore diverso, in modo tale che si potessero notare i doversi filetti, nel momento in cui i due liquidi si mischiassero.
Nel momento in cui fuoriescono i liquidi da entrambi i contenitori si possono verificare due situazioni.
La prima è quella in cui la velocità di entrambi i fluidi è molto bassa: in questo caso si nota che il filetto del fluido colorato è rettilineo, ossia il fluido colorato si muove di moto rettilineo uniforme, diremo che in questa situazione il fluido si muove di moto laminare.
La seconda situazione è quella in cui si hanno velocità maggiori (quindi portate maggiori): in questo caso il fluido colorato presenta delle anormalità ed il suo moto non è più rettilineo uniforme, diremo che in questa situazione il fluido si muove di moto turbolento.
I parametri che influenzano i due tipi di moto sopra descritti, e quindi anche il numero di Reynolds, sono:
- la densità del fluido, [math]
\delta;
[/math] - la viscosità del fluido, [math]
\eta;
[/math] - la velocità con cui si muove il fluido, v;
- il diametro del tubo di uscita, [math]
\varphi.
[/math]
L’espressione del numero di Reynolds è data da:
R_e = \frac{\delta \varphi v}{\eta}
[/math]
ed in funzione della viscosità cinematica si ha che:
R_e = \frac{\varphi v}{\eta}.
[/math]
Il numero di Reynolds è un numero puro e si ha che:
- se [math]il fluido è in condizioni di moto laminare;
R_e \le R_{ecr}
[/math] - se [math]il fluido è in condizioni di moto turbolento.
R_e \ge R_{ecr}
[/math]
Il numero
R_{ecr}
[/math]
è chiamato valore critico del numero di Reynolds ed è stato determinato sperimentalmente dallo stesso:
R_{ecr} \approx 2300.
[/math]
Il passaggio da moto laminare a moto turbolento, per valori di
R_e
[/math]
prossimi al valore critico o di poco superiori, si può notare in quanto il moto continua ad essere laminare, mai filetti del fluido non hanno più traiettorie rettilinee, ma elicoidali.
Moto in condotte in regime laminare
Si consideri un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R ed un fluido che scorre al suo interno muovendosi di moto laminare.
Considerando un generico cilindro di fluido coassiale con quello di partenza e sapendo che:
Q_L = \int_{0}^{R} dQ,
[/math]
si può dimostrare che la portata
Q_L
[/math]
in tale tubo cilindrico per un flusso laminare è data dalla seguente relazione:
Q_L = \frac{(\pi) (\Delta p) (R^4)}{8 (\eta) (L)}
[/math]
La quale esprime la Legge di Poiseuille ed in cui:
\Delta p
[/math]
è la variazione di pressione che si ha fra i due estremi della tubazione;
R è il raggio della tubazione;
L è la lunghezza del tratto di tubazione considerata;
\eta
[/math]
è la viscosità dinamica del fluido.
Si nota subito che
Q_L
[/math]
è direttamente proporzionale alla differenza di pressione per unità di lunghezza:
\frac{\Delta p}{L}
[/math]
mentre risulta essere inversamente proporzionale alla viscosità
\eta.
[/math]
Il fatto che
Q_L
[/math]
dipenda dalla quarta potenza del raggio della condotta implica che è fortemente influenzata da una piccola variazione dello stesso raggio.
Moto in condotte in regime turbolento
Consideriamo ancora un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R. Supponiamo che il fluido che scorre al suo interno abbia una velocità tale da creare un regime di moto turbolento. In tale condizione la portata, a parità di differenza di pressione fra gli estremi del condotto, è più bassa di quella calcolabile con la legge di Poiseuille. Questo risultato è dovuto al fatto che in regime di moto turbolento si formano dei vortici all’interno del liquido che dopo la loro formazione si muovono compatti all’interno del fluido creando dissipazione di energia: l’energia fornita dalle forze di pressione, ossia quelle che fanno muovere il fluido, si divide tra energia cinetica traslazionale del fluido ed energia cinetica rotazionale. Questa energia, nel momento in cui i vortici si distruggono si trasforma in energia disordinata nel fluido. Tale fenomeno implica che a parità di lavoro delle forze di pressione la pressione in regime di moto turbolento è più bassa di quella che si ha in regime di moto laminare.
La perdita di carico lineare dovuta a questa condizione si può esprimere come:
\frac{\Delta p}{L} = f(R_e) \cdot \frac{\delta v^2}{2 \varphi}
[/math]
dove
\Delta p
[/math]
è la variazione di pressione agli estremi del condotto cilindrico;
L è la lunghezza del condotto;
\varphi
[/math]
è il diametro del condotto;
\delta
[/math]
è la densità del fluido;
f(R_e)
[/math]
è una funzione del numero di Reynolds da determinare sperimentalmente e si dimostra che nell’area turbolenta si ha che
f(R_e) = \frac{0,32}{(R_e)^{0,25}}
[/math]
quindi avremmo che
\frac{\Delta p}{L} = (\frac{0,32}{(R_e)^{0,25}}) \cdot \frac{\delta v^2}{2 \varphi}
[/math]
ossia
\frac{\Delta p}{L} = ( 0,16) \big(\frac{\eta d^3 v^7}{(varphi)^5}\big)^{0,25}.
[/math]
Sapendo che
Q = A v
[/math]
ossia
Q = \pi R^2 v
[/math]
si ottiene
Q_T = \pi R^{\frac{19}{7}} \big(\frac{32 B}{\eta (\delta)^3}\big)^{\frac{1}{7}}
[/math]
dove
B = \big(\frac{\delta g (h + L)}{0,16 L}\big)^4
[/math]
ed h rappresenta un eventuale quota di dislivello del ramo di condotto.
La precedente espressione della portata
Q_T
[/math]
, ossia della portata in regime turbolento, prende il nome di legge di Darcy-Weisbach e ci mostra che in regime turbolento la portata dipende dal raggio del condotto, ed ovviamente dalla viscosità del fluido, con una potenza inferiore a quella che avrebbe nel moto laminare.
per ulteriori approfondimenti sulla viscosità vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Che cos'è la viscosità e come varia con la temperatura nei gas e nei liquidi?
- Qual è la relazione tra il numero di Reynolds e il tipo di moto di un fluido?
- Come si esprime la Legge di Poiseuille per il moto laminare in un condotto cilindrico?
- In che modo il moto turbolento influisce sulla portata rispetto al moto laminare?
- Qual è l'importanza del numero di Reynolds nella determinazione delle perdite di carico in regime turbolento?
La viscosità è una grandezza fisica che misura l'attrito interno di un fluido. Nei gas, la viscosità aumenta con l'aumento della temperatura, mentre nei liquidi diminuisce poiché la coesione molecolare si riduce.
Il numero di Reynolds determina se il moto di un fluido è laminare o turbolento. Se il numero è inferiore al valore critico (circa 2300), il moto è laminare; se è superiore, il moto è turbolento.
La Legge di Poiseuille esprime la portata \(Q_L\) in un condotto cilindrico come \(Q_L = \frac{(\pi) (\Delta p) (R^4)}{8 (\eta) (L)}\), dove \(\Delta p\) è la variazione di pressione, \(R\) il raggio, \(L\) la lunghezza del condotto, e \(\eta\) la viscosità dinamica.
Nel moto turbolento, la portata è inferiore rispetto al moto laminare a parità di differenza di pressione, a causa della formazione di vortici che causano dissipazione di energia.
In regime turbolento, le perdite di carico sono influenzate dal numero di Reynolds, espresso nella formula \(\frac{\Delta p}{L} = f(R_e) \cdot \frac{\delta v^2}{2 \varphi}\), dove \(f(R_e)\) è una funzione sperimentale del numero di Reynolds.
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