Concetti Chiave
- La pressione idrostatica è determinata dalla densità del fluido e dalla profondità, come descritto dalla Legge di Stevino, che stabilisce che la pressione aumenta con la profondità.
- La pressione atmosferica, misurata per la prima volta da Torricelli, è la forza esercitata dall'aria sulla superficie terrestre e diminuisce con l'aumentare dell'altitudine.
- Il Principio dei vasi comunicanti afferma che in due vasi collegati, liquidi non miscibili raggiungono altezze inversamente proporzionali alle loro densità.
- Il Principio di Pascal stabilisce che una pressione applicata a un fluido in quiete si trasmette in ogni direzione con la stessa intensità, fondamentale per il funzionamento di dispositivi come il torchio idraulico.
- Il Principio di Archimede definisce che un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del fluido spostato, determinando il galleggiamento o l'affondamento in base alla densità relativa.
In questo appunto di Fisica si descrivono alcuni principi fondamentali per l’idrostatica come il Principio di Pascal, quello di Archimede e quello dei vasi comunicanti e l’esperienza di Torricelli che definisce la pressione atmosferica.
Indice
La pressione idrostatica
La pressione è una grandezza fisica che viene definita come il rapporto fra una forza, F, agente su di una superficie (nella direzione perpendicolare a questa) e l’area della superficie stessa, S:
p = \frac{F}{S}
[/math]
dove
F
[/math]
è la forza agente
S
[/math]
è la superficie su cui agisce F.
Se consideriamo un fluido omogeneo in quiete, la Legge di Stevino ci fornisce la formula necessaria per il calcolo della pressione, p, all’interno di tale fluido:
p = d g h + p_0
[/math]
dove
p
[/math]
è la pressione che si vuole calcolare;
d
[/math]
è la densità del fluido considerato;
g
[/math]
è l’accelerazione di gravità, il cui valore approssimato vale
g \approx 9,81 ms^{-2};
[/math]
h
[/math]
è la profondità (quota sotto il pelo libero del fluido) cui si vuole calcolare la pressione, p;
p_0
[/math]
è il valore della pressione che sovrasta il pelo libero del fluido che può essere la pressione atmosferica oppure, se ad esempio il fluido è all’interno di un contenitore chiuso, la pressione che si può creare al suo interno (fluido in pressione).
La legge di Stevino fornisce, inoltre, alcune caratteristiche importanti sulla pressione all’interno di un fluido in quiete:
- la pressione dipende dalla densità del fluido considerato;
- la pressione aumenta con la profondità cui viene misurata.
A seconda della densità del fluido analizzato la pressione in un fluido misurata ad una data quota varia: maggiore è la densità del fluido (quindi maggiore è il suo peso), maggiore sarà la pressione misurata.
Maggiore è la profondità cui si misura la pressione, maggiore è il valore che otteniamo poiché man mano che aumenta la quota h, aumenta il peso della colonna di fluidi sovrastante il punto in cui si vuole calcolare la pressione.
Tali considerazioni ci portano alla conclusione che la pressione all’interno di un fluido in quiete è direttamente proporzionale alla densità del fluido in esame ed alla profondità cui viene misurata.
La pressione atmosferica e l’esperienza di Torricelli
La pressione atmosferica è la pressione esercitata dall’aria sulla superficie terrestre.
E’ ben noto che l’aria (considerata un fluido ideale) forma intorno alla Terra uno strato chiamato atmosfera, avente lo spessore di qualche centinaio di chilometri la cui densità diminuisce con l’altitudine.
Fu Galileo Galilei a dimostrare con una semplice esperienza che l’aria ha un peso: prese un pallone munito di un rubinetto e dopo averlo riscaldato a rubinetto aperto, in modo da far uscire una certa quantità di aria, lo pesò a rubinetto chiuso. Successivamente, dopo aver fatto entrare l’aria a rubinetto aperto ed averne immessa dell’altra con una grossa siringa, notò che il peso del pallone era di poco aumentato.
Proprio a causa del suo peso, l’aria esercita sopra un qualsiasi corpo immerso in essa una pressione che prende il nome di pressione atmosferica: tale pressione è perpendicolare alla superficie limite dell’oggetto, qualunque sia l’orientazione di tale superficie, con modalità del tutto simili alla pressione dei liquidi.
La pressione atmosferica è stata misurata per la prima volta dal fisico e matematico Evangelista Torricelli (1608 – 1647).
L’esperienza di Torricelli consta del seguente dispositivo:
- un tubo di vetro pieno di mercurio, Hg (la cui densità è [math]) lungo 1m ed aperto ad una estremità;
d_{Hg} = 13579 Kg m^{-3}
[/math] - una vaschetta contenente di mercurio sufficientemente grande da poter contenere anche il mercurio presente nel tubo.
L’esperimento è stato realizzato ad una quota pari al livello del mare, che verrà considerata la quota zero.
Il tubo contenente mercurio lo si capovolge nella vaschetta grande contenente mercurio, tenendo la sua estremità aperta, tappata con un dito; dopo aver immerso nel mercurio della vaschetta l’estremità del tubo manualmente tappata, si toglie l’occlusione e lo si fissa ad un opportuno sostegno.
Il mercurio comincia a fluire nella vaschetta più grande, per poi fermarsi ad un certo livello che risulta essere pari ad un’altezza h = 76cm dalla superficie del pelo libero del mercurio nella vasca più grande.
Sulla sezione S del tubo, in corrispondenza del livello del mercurio della vaschetta, agiscono la pressione atmosferica, diretta dal basso verso l’alto e la pressione idrostatica della colonna di mercurio di altezza h = 76cm dall’alto verso il basso.
Applicando la Legge di Stevino in tale sezione, nota la densità del mercurio si ha che:
p_{atm} = d g h
[/math]
quindi
p_{atm} = (13579) \cdot (9,81) \cdot (0,76) Pa
[/math]
si ottiene che
p_{atm} = 101239.5924 Pa
[/math]
ossia
p_{atm} \approx 1,01 \cdot 10^5 Pa.
[/math]
Si noti che
1,01 \cdot 10^5 Pa = 760 mm Hg
[/math]
(millimetri mercurio)
1 mm Hg è la pressione esercitata da una colonna di mercurio avente altezza1 mm (al livello del mare).
Pertanto la pressione atmosferica al livello del mare è in media uguale a quella di una colonna di mercurio avente altezza pari a 76cm.
Se si aumenta l’altitudine rispetto al livello del mare, la pressione atmosferica diminuisce, poiché diminuisce lo spessore di atmosfera sovrastante. Tale diminuzione non è proporzionale alla differenza di quota (al contrario di quanto accade per i liquidi). Per l’aria non può valere la legge di Stevino in quanto con la quota variano contemporaneamente la composizione e la densità dell’aria.
Definiamo gradiente di pressione atmosferica la diminuzione di pressione atmosferica per un aumento di altitudine di 100m: in prossimità del suolo il gradiente è di circa 10 mm Hg, il che significa che la pressione diminuisce di 10 mm Hg per ogni aumento di 100m di altitudine. Inoltre il gradiente di pressione non è costante, ma diminuisce con la quota.
La pressione ad un’altezza h può essere espressa dalla seguente formula con buona approssimazione:
p = p_{atm} \cdot e^{-0,127 h}
[/math]
dove
e = 2,718… è il numero di Nepero (base dei logaritmi naturali).
Il Principio dei vasi comunicanti
Un’altra conseguenza importante della legge di Stevino riguarda l’equilibrio di due o più fluidi con diverse densità all’interno di vasi.
Si consideri un tubo ad U contenente due liquidi non miscibili, aventi densità
d_1
[/math]
e
d_2
[/math]
diverse, i quali raggiungono nei due rami del tubo rispettivamente le altezze
h_1
[/math]
ed
h_2.
[/math]
Sia S la superficie di separazione dei due liquidi: su questa agiscono dal basso verso l’alto e dall’alto verso il basso le pressioni idrostatiche esercitate dalle colonne liquide di altezze
h_2
[/math]
ed
h_1
[/math]
rispettivamente.
In condizioni di equilibrio tali pressioni sono uguali:
d_1 g h_1 = d_2 g h_2
[/math]
da cui
\frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1}.
[/math]
Si conclude che, in due vasi comunicanti, due liquidi non miscibili raggiungono in condizioni di equilibrio altezze inversamente proporzionali alle densità.
Il Principio di Pascal
Il Principio di Pascal esprime una importante proprietà dei fluidi in quiete ed è alla base del funzionamento di molti dispositivi meccanici.
In base a varie esperienze si è provato che:
- data una forza applicata su di una superficie di un fluido, questa si trasmette in tutte le direzioni all’interno del fluido stesso con la stessa intensità su superfici uguali;
- se le superfici non sono uguali, la forza trasmessa varia con queste.
In ogni caso ciò che si trasmette da un punto ad un altro con la stessa intensità è la pressione.
In base a tali considerazioni Pascal arrivò al seguente principio:
una pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto ed in tutte le direzioni con la stessa intensità.
Su tale principio si basa, ad esempio, il funzionamento di un dispositivo chiamato torchio idraulico che si comporta come un trasformatore di forza.
Tale dispositivo è costituito da due cilindri muniti di stantuffo e comunicanti fra loro, ed aventi diametri molto diversi.
Siano
S_1
[/math]
ed
S_2
[/math]
le sezioni dei due stantuffi, rispettivamente.
Se applichiamo la forza
F_1
[/math]
sulla stantuffo di sezione
S_1
[/math]
, otteniamo la pressione:
p_1 = \frac{F_1}{S_1}.
[/math]
In base al Principio di Pascal tale pressione si trasmette sull’altro pistone di sezione
S_2.
[/math]
Chiamata
F_2
[/math]
la forza trasmessa, si ha che:
\frac{F_2}{S_2} = \frac{F_1}{S_1}
[/math]
da cui si ottiene che
F_2 = \frac{S_2}{S_1} \cdot F_1.
[/math]
La precedente relazione ci mostra che la forza
F_2
[/math]
è pari al valore di
F_1
[/math]
moltiplicato per
\frac{S_2}{S_1}
[/math]
fra le sezioni dei due cilindri: la forza trasmessa
F_2
[/math]
è quindi tanto più grande, a parità di
F_1
[/math]
applicata, quanto maggiore è il rapporto tra le sezioni di pistoni.
Sullo stesso principio di funzionamento è basato l’elevatore idraulico.
Il Principio di Archimede o di galleggiamento
Considerato un recipiente contenente un liquido in equilibrio, vi si immerga completamente un corpo: le forze agenti su questo corpo sono il suo peso e la risultante delle forze di pressione sulla superficie che lo delimita. Supponiamo di sostituire tale corpo con una massa di fluido avente lo stesso contorno e quindi lo stesso volume: la risultante delle forze di pressione è la stessa di prima, ma la porzione di fluido è in equilibrio, quindi il proprio peso equilibra la risultante delle forze di pressione.
In base a tali considerazioni si è formulato il seguente Principio di Archimede:
un corpo immerso in un fluido in equilibrio, subisce una spinta diretta dal basso verso l’alto avente modulo pari al peso del liquido spostato.
Tale spinta prende il nome di spinta di Archimede:
S_A = d g h S
[/math]
dove
d
[/math]
è la densità del fluido
g = 9,81 ms^{-2}
[/math]
h S
[/math]
è il volume,
V
[/math]
, di fluido spostato.
Sul Principio di Archimede si basa la teoria del galleggiamento dei corpi.
Sappiamo infatti che un corpo immerso in un fluido subisce la spinta di Archimede verso l’alto,
\overrightarrow{S_A}
[/math]
ed il suo peso verso il basso,
\overrightarrow{P}.
[/math]
Se
S_A \ge P
[/math]
il corpo tende a galleggiare
Se
S_A [/math]
il corpo affonda.
Queste due considerazioni si traducono nel modo seguente:
d_f g V \ge d_c g V
[/math]
dove
d_f
[/math]
è la densità del fluido
d_c
[/math]
è la densità del corpo immerso
quindi
il corpo galleggia se
d_f \ge d_c
[/math]
: ossia se la densità del fluido è maggiore di quella del corpo immerso.
Al contrario avremo che il corpo affonda se
d_f g V [/math]
quindi
d_f [/math]
ossia se la densità del fluido è minore di quella del corpo immerso, quest’ultimo affonda.
per ulteriori approfondimenti sull'equilibrio dei fluidi vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Qual è la formula per calcolare la pressione idrostatica in un fluido in quiete?
- Come si misura la pressione atmosferica secondo l'esperimento di Torricelli?
- Cosa afferma il Principio dei vasi comunicanti?
- Qual è il principio fondamentale del Principio di Pascal?
- Come si determina se un corpo galleggia o affonda secondo il Principio di Archimede?
La pressione idrostatica in un fluido in quiete si calcola con la formula \( p = d g h + p_0 \), dove \( d \) è la densità del fluido, \( g \) è l'accelerazione di gravità, \( h \) è la profondità e \( p_0 \) è la pressione sovrastante.
L'esperimento di Torricelli misura la pressione atmosferica utilizzando un tubo di vetro pieno di mercurio capovolto in una vaschetta di mercurio. La pressione atmosferica è calcolata come \( p_{atm} = d g h \), risultando in circa \( 1,01 \cdot 10^5 \) Pa.
Il Principio dei vasi comunicanti afferma che in due vasi comunicanti contenenti liquidi non miscibili, le altezze raggiunte dai liquidi sono inversamente proporzionali alle loro densità, ovvero \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1} \).
Il Principio di Pascal stabilisce che una pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto ed in tutte le direzioni con la stessa intensità, ed è alla base del funzionamento di dispositivi come il torchio idraulico.
Secondo il Principio di Archimede, un corpo galleggia se la spinta di Archimede \( S_A \) è maggiore o uguale al peso del corpo \( P \), ossia se la densità del fluido \( d_f \) è maggiore o uguale alla densità del corpo \( d_c \). Se \( d_f < d_c \), il corpo affonda.
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