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definizione e regole dei logaritmi


I logaritmi


Definizione generale di logaritmo


Quello di logaritmo è un concetto strettamente connesso a quello di potenza. Possiamo infatti dire che il logaritmo è una delle due operazioni inverse a quella di elevamento a potenza. Vediamo perchè. Consideriamo il seguente elevamento a potenza:
[math]2^3 =?[/math]

Trovare il risultato di una potenza significa moltiplicare per se stesso il numero di base (2), tante volte quanto è indicato dal numero in esponente (3). Di conseguenza:

[math]2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8[/math]

Scriviamo adesso due operazioni leggermente differenti, ma che hanno comunque sempre a che fare con l'elevamento a potenza:

[math]x^3 =8[/math]
e
[math]2^x = 8[/math]
.

Nel primo caso, si tratta di trovare quel numero che elevato a 3 dia come risultato 8. Per arrivare alla soluzione è necessario calcolare dunque la radice cubica di 8:

[math]x = \sqrt[3]{8}= 2[/math]

Nel secondo caso, si tratta invece di trovare l'esponente al quale bisogna elevare 2 per ottenere 8. Ovviamente, si tratta di 3:

[math]2^3 = 8[/math]
. Si dice cioè che 3 è il logaritmo di 8 in base 2.


[math]\log_{2}{8} = 3[/math]

Questo ci porta alla conclusione che, se di una potenza assegnata è noto l'esponente e bisogna trovare la base, l'operazione da utilizzare è l'estrazione di radice. Se invece di una potenza assegnata è nota la base e bisogna trovare l'esponente, l'operazione da utilizzare è il logaritmo.
[math]b^x = a \to x= \log_{b}{a}[/math]

Diremo dunque che: il logaritmo di un certo numero a in una base b (dove a e b sono entrambi reali e positivi e b è diverso da 1) è quel numero a cui si deve elevare la base b per ottenere come risultato il numero a.

Ci si rende quindi conto facilmente che il logaritmo di 1 (non importa in che base) è sempre pari a 0, giacchè -come si ricorderà dalle potenze- qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1.

I logaritmi a base 10 vengono detti logaritmi decimali (o logaritmi di Briggs). Questi logaritmi godono di particolari proprietà/caratteristiche. Infatti quando la base del logaritmo coincide con la base del sistema di numerazione, il calcolo del logaritmo di un numero è molto più facile. Per questa loro caratteristica i logaritmi decimali sono molto utilizzati in matematica e non è quindi raro che vengano indicati senza menzionarne la base.

[math]\log_{10}= log[/math]

I logaritmi in base e vengono invece detti logaritmi neperiani o naturali.

Si ricorda che e (detto "numero di Nepero") è un numero irrazionale, pari a 2,7182812....
Questo numero può sembrare molto particolare, tuttavia i logaritmi che hanno e come base (i logaritmi naturali, appunto) sono molto utilizzati in alcuni rami della matematica. Per questi logaritmi si utilizza solitamente una simbologia leggermente diversa da quella utilizzata per gli altri logaritmi.

[math]\log_{e}= ln[/math]

I logaritmi sono stati introdotti in matematica con lo scopo di rendere più semplici e veloci i calcoli: come i matematici amano dire, essi "abbassano" il grado di difficoltà delle operazioni di calcolo. Sebbene questo sia un discorso interessante, risulta un po' complesso, e richiederebbe forse una trattazione più specifica. Se ne trascurano dunque i dettagli nel presente appunto.


Proprietà dei logaritmi


Con i logaritmi è possibile compiere quattro operazioni: moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice. Ognuna di queste quattro operazioni è resa possibile dall'esistenza di un teorema. Vediamoli dunque uno per uno.

Teorema 1: Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.

[math]\log_{b}{(a \cdot c)}= \log_{b}{a}+ \log_{b}{c}[/math]

Tale teorema può essere facilmente dimostrato. Poniamo infatti:
[math]\log_{b}{a}= x [/math]
,
[math]\log_{b}{c}= y [/math]
,
[math]\log_{b}{(a \cdot c)}= z [/math]

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:

[math]b^x = a [/math]
,
[math] b^y = c [/math]
,
[math]b^z = a \cdot c [/math]

Moltiplichiamo tra di loro i primi due termini:

[math]b^x \cdot b^y = a \cdot c[/math]

[math]b^{x + y}= a \cdot c[/math]

Ma precedentemente abbiamo visto come:

[math]b^z = a \cdot c [/math]
, quindi:
[math]b^z = b^{x + y} [/math]

[math]\to z = x +y[/math]

[math]\to \log_{b}{(a \cdot c)}= \log_{b}{a}+ \log_{b}{c}[/math]

Il teorema è dimostrato.

Teorema 2: Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del divisore.

[math]\log_{b}{\frac{a}{c}}= \log_{b}{a}- \log_{b}{c}[/math]

Anche tale teorema può essere facilmente dimostrato. Poniamo infatti:
[math]\log_{b}{a}= x [/math]
,
[math]\log_{b}{c}= y [/math]
,
[math]\log_{b}{\frac{a}{c}}= z [/math]

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:

[math]b^x = a [/math]
,
[math] b^y = c [/math]
,
[math]b^z = \frac{a}{c}[/math]

Dividiamo tra di loro i primi due termini:

[math]\frac{b^x}{b^y}=\frac{a}{c} [/math]

[math]b^{x - y}= \frac{a}{c}[/math]

Ma precedentemente abbiamo visto come:

[math]b^z = \frac{a}{c} [/math]
.

Quindi:

[math]b^z = b^{x - y} [/math]

[math]\to z = x - y [/math]

[math]\to \log_{b}{\frac{a}{c}}= log_{b}{a}- \log_{b}{c}[/math]

Il teorema è dimostrato.

Teorema 3: Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base di detta potenza.

[math]\log_{b}{a^c}= c \cdot \log_{b}{a}[/math]

Anche tale teorema può essere facilmente dimostrato. Poniamo infatti:
[math]\log_{b}{a}= x [/math]
,
[math]\log_{b}{a^c}= y [/math]

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:

[math]b^x = a [/math]
e
[math] b^y = a^c [/math]

Eleviamo a c tra il primo termine:

[math](b^x)^c = a^c[/math]

[math]b^{x \cdot c}= a^c[/math]

Ma precedentemente abbiamo visto come:

[math]b^y = a^c [/math]
.
Quindi:
[math]b^y = b^{x \cdot c} [/math]

[math]\to y = c \cdot x[/math]

[math]\to \log_{b}{a^c}= c \cdot \log_{b}{a}[/math]

Il teorema è dimostrato.

TEOREMA 4: Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente fra il logaritmo del radicando e l'indice del radicale. Detto molto più semplicemente:

[math]\log_{b}{\sqrt [c]{a}}= \frac{1}{c}\cdot \log_{b}{a}[/math]

Anche tale teorema può essere dimostrato, e in maniera più semplice degli altri tre. Ricordando infatti che:
[math]\sqrt[c]{a} = a^\frac{1}{c}[/math]

...E rifacendosi al precedente teorema:

[math]\log_{b}{\sqrt [c]{a}}= \frac{1}{c}\cdot \log_{b}{a}[/math]

Il teorema è dimostrato.

Cambiamento di base di un logaritmo


Utilizzando le proprietà dei logaritmi, è anche possibile cambiar loro la base, in modo da rendere più agevoli i nostri calcoli o più semplice la risoluzione delle equazioni logaritmiche (di cui parleremo più avanti). Vediamo come.

Per comodità indicheremo con V (vecchia) la base del logaritmo che ci viene assegnata (e che è quindi nota) e con n (nuova) la base in cui vogliamo convertirlo. Il nostro problema è dunque:

[math]\log_{V}{a} \to \log_{n}{a}[/math]

Poniamo:

[math]\log_{n}{a} = x[/math]

Possiamo scrivere, data la definizione di logaritmo:

[math]n^x = a[/math]

Ora, i numeri uguali hanno logaritmi in una stessa base uguali. Possiamo dunque scrivere:

[math]\log_{V}{n^x} = \log_{V}{a} [/math]

Ricordando la terza proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere:

[math]x \cdot \log_{V}{n} = \log_{V}{a} [/math]

Cioè:

[math]x= \frac{\log_{V}{a}}{\log_{V}{n}}[/math]

E quindi:

[math]\log_{n}{a}= \frac{\log_{V}{a}}{\log_{V}{n}}[/math]

Possiamo dunque concludere che: il logaritmo di un numero in una nuova base è uguale al logaritmo dello stesso numero nella vecchia base diviso il logaritmo della nuova base nella vecchia base.

La quantità:

[math]\frac{1}{\log_{V}{n}}[/math]

.... che compare nella formula è detta "modulo di trasformazione (M)", e rappresenta il termine fisso per cui occorre moltiplicare il logaritmo di un numero nella vecchia base per ottenere il logaritmo dello stesso numero nella nuova base.


[math]\log_{n}{a}= M \cdot \log_{V}{a}[/math]

Equazioni logaritmiche


Un'equazione in cui compaiono logaritmi di espressioni algebriche nella variabile x si dice "logaritmica", e -salvo alcune eccezioni- può essere risolta utilizzando le proprietà dei logaritmi che sono state precedentemente descritte.

La strategia fondamentale consiste nel ridurre l'equazione alla forma:

[math]\log_{b}{A(x)}= \log_{b}{B(x)}[/math]

Cioè
[math]A(x) =B(x)[/math]

Dove A(x) e B(x) indicano due espressioni algebriche nella variabile x, e che, affinchè il logaritmo esista (o più precisamente esista nell'insieme R dei numeri reali), occorre sempre supporre positive.

Qui di seguito se ne riporta un brevissimo esempio, che può essere d'aiuto nel capire come comportarsi di fronte ad una equazione logaritmica:

[math]\log_{2}{(x^2-1)} = 3[/math]

[math]\log_{2}{(x^2-1)} = \log_{2}{8}[/math]

[math]x^2 - 1 = 8[/math]

Affinchè il logaritmo esista, occorre che:

[math]x^2 - 1 >0[/math]
(e quindi x dev'essere maggiore di 1 e minore di -1).

Torniamo all'equazione:

[math]x^2 = 9[/math]

[math]x = \pm 3[/math]

CURVA LOGARITMICA

L'equazione:

[math]y = \log_{b}{x}[/math]

...prende il nome di funzione logaritmica, e il suo andamento può essere tracciato su un piano cartesiano ortogonale (x,y): sarà sufficiente, assegnati i valori della x, calcolare i corrispettivi valori della y secondo la legge matematica sopra riportata. I punti così trovati saranno uniti in modo tale da formare una curva (la curva logaritmica, appunto).

Le caratteristiche di questo grafico sono visibili nella figura in allegato. Nel presente appunto si tralascia lo studio accurato di tale grafico, rimandando la questione ad appunti più specifici ed espressamente ad esso dedicati. Ci limiteremo a dire che tale diagramma risulta simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante a quello della funzione esponenziale:

[math]y=b^x[/math]

Da notare inoltre i due diversi andamenti a seconda che la base b sia maggiore o minore di 1.

In entrambi i casi, per x=1, y=0. Sappiamo infatti dalle potenze che qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1.

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