Regole e principali proprietà dei logaritmi

Questo appunto di matematica riguarda i logaritmi. I logaritmi sono strumenti matematici molto utili e hanno a che fare con il calcolo delle potenze. Come vedremo nella definizione, infatti, la parola logaritmo è un modo diverso per dire esponente. Dopo un'introduzione generale, vedremo le proprietà dei logaritmi, la regola del cambiamento di base ed accenneremo alle equazioni logaritmiche, indagando i principali metodi per risolverle. Per finire, vedremo cos'è e come disegnare e calcolare la curva logaritmica.

Definizione generale di logaritmo

In questo primo paragrafo vedremo la definizione generale di logaritmo, il suo legame con il concetto di potenza ed alcuni esempi di logaritmi e del loro calcolo.

Quello di logaritmo è un concetto strettamente connesso a quello di potenza. Possiamo infatti dire che il logaritmo è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. Vediamone il perché considerando un semplice elevamento a potenza, due elevato alla terza.

Trovare il risultato di una potenza significa moltiplicare per se stesso il numero che rappresenta la base della potenza, in questo caso 2, per tante volte quanto indicato dall'esponente. Si ha, cioè:

Facciamo adesso un esempio diverso:

In questo caso, occorre trovare l'esponente da assegnare al numero 3, per avere come risultato della potenza il numero 81. È qui che possiamo usare il concetto di logaritmo. Possiamo dire, infatti, che l'esponente da assegnare a 3 per avere come risultato 81 è proprio il logaritmo in base 3 di 81.

Questo ci porta a concludere che, se di una potenza assegnata è nota la base e bisogna trovare l'esponente, l'operazione da utilizzare è il logaritmo.

Diremo dunque che: il logaritmo di un certo numero a in una base b (dove a e b sono entrambi reali e positivi e b è diverso da 1) è quel numero a cui si deve elevare la base b per ottenere come risultato il numero a.

Ci si rende quindi conto facilmente che il logaritmo di 1 (non importa in che base) è sempre pari a 0, giacché qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1.

I logaritmi con base 10 vengono detti logaritmi decimali (o logaritmi di Briggs). Questi logaritmi godono di particolari proprietà. Infatti, quando la base del logaritmo coincide con la base del sistema di numerazione (e, come è noto, il nostro sistema di numerazione è in base 10), il calcolo del logaritmo di un numero è molto più facile. Per questa loro caratteristica, i logaritmi decimali sono molto utilizzati in matematica e non è raro che vengano indicati senza menzionarne la base.

I logaritmi in base e vengono invece detti logaritmi neperiani o naturali.
Si ricorda che e(detto "numero di Nepero") è un numero irrazionale, pari a 2,7182812...
Questo numero può sembrare molto particolare, tuttavia i logaritmi che hanno il numero di Nepero come base (i logaritmi naturali, appunto) sono molto utilizzati in alcuni rami della matematica. Per questi logaritmi si utilizza solitamente una simbologia leggermente diversa da quella utilizzata per gli altri logaritmi.

I logaritmi sono stati introdotti in matematica con lo scopo di rendere più semplici e veloci i calcoli: come i matematici amano dire, essi "abbassano" il grado di difficoltà delle operazioni di calcolo. Sebbene questo sia un discorso interessante, risulta un po' complesso, e richiederebbe forse una trattazione più specifica. Se ne trascurano dunque i dettagli nel presente appunto.

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi vedi anche qua

Proprietà dei logaritmi

L'oggetto di questo paragrafo sono le proprietà dei logaritmi, strumenti molto utili nello svolgimento di calcoli che coinvolgono, appunto, i logaritmi stessi. Ad ogni proprietà seguirà una piccola dimostrazione.

Con i logaritmi è possibile compiere quattro operazioni: moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice. Ognuna di queste quattro operazioni è resa possibile dall'esistenza di un teorema. Vediamoli dunque uno per uno.

Teorema 1: Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.

Tale teorema può essere facilmente dimostrato. Poniamo infatti:

,

,

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:

,

,

Moltiplichiamo tra di loro i primi due termini:

Ma precedentemente abbiamo visto come:

, quindi:

Il teorema è dimostrato.

Teorema 2: Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del divisore.

Anche tale teorema può essere facilmente dimostrato. Poniamo infatti:

,

,

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:

,

,

Dividiamo tra di loro i primi due termini:

Ma precedentemente abbiamo visto come:

.

Quindi:

Il teorema è dimostrato.

Teorema 3: Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base di detta potenza.

Anche tale teorema può essere facilmente dimostrato. Poniamo infatti:

,

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:

e

Eleviamo alla potenza c il primo termine:

Ma precedentemente abbiamo visto come:

.
Quindi:

Il teorema è dimostrato.

Teorema 4: Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente fra il logaritmo del radicando e l'indice del radicale.

Detto molto più semplicemente:

Anche tale teorema può essere dimostrato, e in maniera più semplice degli altri tre. Ricordando infatti che:

e rifacendosi al precedente teorema:

il teorema è dimostrato.

Cambiamento di base di un logaritmo

Vedremo, in questo paragrafo, un'altra importante regola d'uso dei logaritmi, la regola del cambiamento di base. Come avrai notato, infatti, molte delle proprietà che coinvolgono due o più logaritmi possono essere applicate solo quando i logaritmi hanno la stessa base. Quando questo non dovesse accadere, è possibile usare una regola che consente di modificare la base di un logaritmo, trasformandola in un'altra, scelta a piacere.

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, è possibile cambiar loro la base, in modo da rendere più agevoli i nostri calcoli o più semplice la risoluzione delle equazioni logaritmiche (di cui parleremo più avanti).

Per comodità indicheremo con V (vecchia) la base del logaritmo che ci viene assegnata (e che è quindi nota) e con N (nuova) la base in cui vogliamo convertirlo. Il nostro problema è dunque:

Poniamo:

Possiamo scrivere, data la definizione di logaritmo:

Ora, se due numeri sono uguali saranno ovviamente uguali anche i loro logaritmi, se calcolati rispetto alla stessa base. Possiamo dunque scrivere:

Ricordando la terza proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere:

Cioè:

E quindi:

Possiamo dunque concludere che: il logaritmo di un numero in una nuova base è uguale al logaritmo dello stesso numero nella vecchia base diviso il logaritmo della nuova base nella vecchia base.

La quantità:

che compare nella formula è detta modulo di trasformazione (M), e rappresenta il termine fisso per cui occorre moltiplicare il logaritmo di un numero nella vecchia base per ottenere il logaritmo dello stesso numero nella nuova base.

Equazioni logaritmiche

Ci occupiamo adesso di un altro argomento importante: le equazioni logaritmiche, che sono quelle equazioni nelle quali l'incognita compare come argomento di uno o più logaritmi. Vediamo come si fa a risolverle.

Un'equazione in cui compaiono logaritmi di espressioni algebriche nella variabile x si dice logaritmica, e - salvo alcune eccezioni - può essere risolta utilizzando le proprietà dei logaritmi che sono state precedentemente descritte.

La strategia fondamentale consiste nel ridurre l'equazione alla forma:

Da qui, infatti, si può passare agli argomenti e scrivere

, un'espressione che non contiene più logaritmi e può essere risolta come una normale equazione.

Le espressioni A(x) e B(x) indicano due espressioni algebriche nella variabile x, e che, affinché il logaritmo esista (o più precisamente esista nell'insieme dei numeri reali), occorre sempre supporre positive. Ricorda, quindi, prima di ogni equazione, di calcolare il campo di esistenza, cioè di porre positiva ciascuna delle quantità presenti come argomento dei vari logaritmi presenti nell'equazione.

Qui di seguito se ne riporta un brevissimo esempio, che può essere d'aiuto nel capire come comportarsi di fronte ad una equazione logaritmica:

Affinché il logaritmo esista, occorre che:

(e quindi x dev'essere maggiore di 1 e minore di -1).

Torniamo all'equazione:

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni logaritmiche vedi anche qua

Curva logaritmica

L'argomento di questo paragrafo è la funzione logaritmica. Partendo dalla definizione di logaritmo, si può introdurre la funzione logaritmica, una funzione data da un logaritmo, la cui base è costante e il cui argomento è la variabile della funzione stessa.

Osserva l'equazione:

Essa prende il nome di funzione logaritmica, e il suo andamento può essere tracciato su un piano cartesiano: sarà sufficiente, assegnati i valori della x, calcolare i corrispettivi valori della y secondo la legge matematica sopra riportata. I punti così trovati saranno uniti in modo tale da formare una curva (la curva logaritmica, appunto).

Le caratteristiche di questo grafico, che prende il nome di curva logaritmica, sono visibili nella figura in allegato. Nel presente appunto si tralascia lo studio accurato di tale grafico, rimandando la questione ad appunti più specifici ed espressamente ad esso dedicati. Ci limiteremo a dire che tale diagramma risulta simmetrico, rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, al grafico della funzione esponenziale:

Osserva, inoltre, i due diversi andamenti a seconda che la base b sia maggiore o minore di 1.

In entrambi i casi, per x=1, y=0. La funzione logaritmica, qualsiasi sia la base, passerà sempre per il punto

Sappiamo infatti che qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1.

Per ulteriori approfondimenti sulla funzione logaritmica e su come disegnarla vedi anche qua