Introduzione alle equazioni goniometriche

In questo appunto vengono definite e spiegate le equazioni goniometriche, vengono inoltre proposti degli esercizi nei quali è riportato lo svolgimento di alcune equazioni goniometriche.
Per comprendere meglio tale appunto viene prima proposto un ripasso sulle principali funzioni trigonometriche.

Funzioni trigonometriche

Data una circonferenza goniometrica (circonferenza avente centro nell’origine degli assi e raggio unitario) è possibile tracciare un angolo avente un lato che corrisponde alla parte positiva dell’asse x e avente il secondo lato disposto in un modo che dipende dall’ampiezza dell’angolo.
La funzione seno è quella funzione che mette in relazione l’ordinata del punto individuato dall’angolo sulla circonferenza goniometrica in funzione dell’angolo.
Tale funzione ha un andamento oscillatorio e oscilla tra un valore massimo pari a 1 e un valore minimo pari a -1.
La funzione coseno è quella funzione che mette in relazione l’ascissa del punto individuato dall’angolo sulla circonferenza goniometrica in funzione dell’angolo.
Tale funzione ha un andamento oscillatorio e oscilla tra un valore massimo pari a 1 e un valore minimo pari a -1.
La funzione tangente è quella funzione che mette in relazione l’angolo e l’ordinata del punto di intersezione tra il lato dell’angolo e la retta verticale che passa per il punto di intersezione tra la circonferenza e l’asse positivo delle x.

Tale funzione tangente ha sempre un andamento periodico con periodo pari a 2π ma a differenza delle due precedenti non è limitata ma assume un range di valori che va da

a

.
Si può dimostrare che la funzione tangente è relazionata alla funzione seno e alla funzione coseno tramite la seguente relazione:

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni trigonometriche vedi anche qua

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni e sulle funzioni periodiche, vedi qui

Identità

Un'identità goniometrica è un'uguaglianza tra due espressioni contenenti funzioni goniometriche di uno o più angoli, che sia verificata per qualunque valore attribuito agli angoli, esclusi al più i valori per cui l'espressione perde significato.
In determinate tipologie di esercizi, occorre verificare se un'identità goniometrica è verificata, e per farlo si sfruttano le relazioni fondamentali conosciute.

Esempio:

Vogliamo andare a verificare la seguente identità riportata qui di seguito:

Si può andare ad operare sul primo membro dell'identità, sfruttando la relazione fondamentale della goniometria come segue riportato:

Andando ora a svolgere i calcoli seguenti:

Si va dunque ad ottenere che:

Da ciò, si può andare ad affermare che l'identità è verificata in maniera coretta.

Equazioni

Un'equazione goniometrica è un'uguaglianza tra due espressioni contenenti funzioni goniometriche di uno o più angoli, che è verificata solo per particolari valori attribuiti agli angoli.
Come per le equazioni in x, anche per quelle goniometriche si definisce soluzione ogni valore che, sostituito all'incognita, rende il primo membro uguale al secondo.
Un'equazione goniometrica si dice impossibile quando non ha soluzioni.
Vediamo alcuni esempi di equazioni goniometriche.

Si consideri il primo esempio con la seguente equazione riportata di seguito:

Sapendo che il seno di un angolo è sempre compreso tra - 1 e 1, possiamo affermare che l'equazione ammette soluzioni se e solo se:

Ovvero deve andare a risultare:

Se questa condizione è soddisfatta, esiste un angolo

tale che per cui risulta:

Per le proprietà del seno, sappiamo inoltre che:

Da cui si può andare a concludere che esisterà anche un angolo di ampiezza pari a:

Tale per cui andrà a risultare:

Inoltre, sono soluzione anche tutti gli angoli che si ottengono da

e

aggiungendo multipli di

. Da qui allora si può andare a concludere che le soluzioni dell'equazione sono tutti gli angoli della forma:

L'equazione (cos x = m)
Anche il coseno di un angolo sempre è compreso tra - 1 e 1, possiamo affermare che l'equazione ammette soluzioni se e solo se risulta:

Ovvero risulta che:

Se questa condizione è soddisfatta, allora esiste un angolo

tale per cui risulta che:

Considerando ora le proprietà del coseno, sappiamo inoltre che risulta:

quindi, se

è soluzione dell'equazione, lo sicuramente anche (-a).

Le soluzioni dell'equazione sono, quindi, tutti gli angoli della forma:

L'equazione

, quindi se il valore a è soluzione dell'equazione, cioè si ha la seguente situazione:

le soluzioni dell'equazione sono tutti gli angoli del tipo che rispettano la seguente relazione:

Per ulteriori approfondimenti sui valori delle funzioni trigonometriche vedi anche qua

Esercizio proposto

Qui di seguito si va a proporre un esercizio la cui risoluzione si lascia al lettore interessato. Trova tutti gli angoli che verificano la seguente equazione goniometrica: