Funzioni matematiche

FUNZIONI ELEMENTARI

Funzione potenza

n(x) = x

Le funzioni potenza sono funzioni del tipo f(x) = x^n, con n ∈ N

Se n = 1, è una funzione dispari biunivoca (bisettrice del I e III quadrante).

Se n è pari, l'immagine di f(R) = [0;+∞) ed è una funzione pari, non è suriettiva né iniettiva. Per ottenere l'inversa bisogna attuare una restrizione del dominio.

Se n è dispari, è una funzione dispari e biunivoca. È quindi invertibile in R→R.

Se n è pari, la funzione esiste solo per x ∈ [0;+∞) razionale: m/n(x) = x, dove m,n sono primi fra loro, q > 0 e q = n.

Se n è dispari, la funzione esiste per ogni x.

Se l'esponente è negativo: 1-n(x) = x, per x ≠ 0.

Funzione esponenziale e logaritmica

Se a è un numero reale positivo e diverso da 1, la funzione si chiama funzione logaritmo in base a.

a^x

La funzione si chiama funzione esponenziale in base a. È g : R → R ed è biunivoca. Tale funzione è legata dalla relazione equivalente a x = a^x.

Ricorda: f(x) = x cresce molto più lentamente di f(x) = a^x.

Funzione definita a tratti:

• Funzione valore assoluto: f(x) = |x| è una funzione R → R, pari e non suriettiva né iniettiva.

Disuguaglianza triangolare: |x + y| ≤ |x| + |y|

Dimostrazione:

-x ≤ |x| ≤ x e -y ≤ |y| ≤ y

Se sommo queste due disequazioni:

-x - y ≤ x + y ≤ x + y

È uguale a:

|x + y| ≤ |x| + |y|

Perciò:

|a - b| ≤ |a - c| + |c - b|

- Funzione segno:

• sign(x) = 1 se x > 0
• sign(x) = -1 se x < 0
• sign(x) = 0 se x = 0

¿Funzione parte intera [ ]( ) =f x x : R → Z

Mantissa (Funzione parte decimale)[ ]( )=x−h x x : R →

¿è una funzione periodica di periodo T=1

Funzioni periodiche f : D→R non costante è periodica di periodo T>0 se( )=f ( ) ∀ ∈+tf x x x D . Chiamo periodo minimo il più piccolo T per cui vale questa proprietà.

( )=senx:f x R →[-1, 1]- non è suriettiva neiniettiva, infatti per l'inversa bisogna restringere il dominio a [-π/2,π/2]. Ha periodo T=2π ed è una funzione dispari

( )=cosxf x : R →[-1, 1]- , per l'inversa bisogna restringere il dominio a [0,π] Ha periodo T=2π ed è una funzione pari ¿ π- , per( )=tanx { +kπ ¿ ¿f x : R → R2l'inversa bisogna restringere il dominio a(-π/2,π/2) Ha periodo T=π ed è una funzione dispari

Somma di funzioni periodiche:f , g : R→ R con f periodica T e g periodica

Date 1 2+ =hTf g è periodica tale c h e k T 1 2

FUNZIONI COMPOSTEf : A→R g :B → R

Date due funzioni e⊆BA f ° g : A → R- Se allora si può definire la funzione composta che∈x Aassocia ad ogni il valore f(g(x))⊂BA- Se allora bisogna restringere il dominio A a B, poi si può definire la∈f ° g : A → R x Afunzione composta che associa ad ogni il valoref(g(x))Ricorda: bisogna sostituire la funzione a destra (es. g) al posto della x di quella asinistra (es. f) f ° g ≠ g ° fRicorda: la funzione composta non è commutativa, infatti

OPERAZIONI ELEMENTARI SU GRAFICI DI FUNZIONITraslazione verticale di c ( ) ( )+=fg x x c( ) ( )∈ ϵ+cx ; y grafico di f ↔ x ; y grafico di g Traslazione orizzontale di c ( ) ( )=fg x x+ cSe c>0 ( ) ( )∈ ϵ+cx ; y grafico di f ↔ x ; y grafico di gC>0 traslo a sinistra (rossa)C<0 traslo a destra (blu)Se c<0Simmetria rispetto all’asse x( ) (

=−fg x x( ) ( )∈ ϵx ; y grafico di f ↔ x ;− y grafico di g

Simmetria rispetto all’asse y

( ) (−x )=fg x( ) (−x )∈ ϵx ; y grafico di f ↔ ; y grafico di g

Dilatazione (k>0)

Cambio di scala (k>0)

( ) ( )=kfg x x ( ) ( )=fg x kx( ) ( )∈ ϵx ; y grafico di f ↔ x ; ky grafico di g

( ) ( )∈ ϵx ; y grafico di f ↔ kx ; y grafico di g

k>1 (viola) k<1(rossa)

k>1

k<1 (rossa)

(viola)