Funzioni matematiche

Funzioni

Definizione di funzione

Dato due insiemi A e B, una funzione f di dominio A e di codominio B è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B. Scriveremo: f : A→B.

Studieremo soprattutto le funzioni reali di variabile reale, ovvero funzioni che hanno per dominio un sottoinsieme di R e per codominio R.

Immagine di una funzione

L'uscita corrispondente a x si chiama immagine di x e si indica con il simbolo f(D). In termini matematici: chiamiamo immagine di f, { y ∈ R : ∃ x ∈ D: f(x) = y }.

Grafico di una funzione

La dipendenza di f(x) da x si visualizza disegnando il grafico di f, ossia l’insieme dei punti del piano di coordinate (x;y). In termini matematici: { (x, y) ∈ RxR : x ∈ D, y ∈ R e y = f(x) }.

Ricorda: bisogna sempre definire la funzione insieme al suo dominio, poiché funzioni “uguali” con diverso dominio sono funzioni diverse.

Tipi di funzioni

• Suriettiva: è suriettiva se f : D→R ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ D : f(x) = y. Ricorda: ogni funzione è suriettiva alla sua immagine.
• Iniettiva: è iniettiva se vale una delle caratterizzazioni equivalenti:
  • ∀ x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)
  • ∀ x₁, x₂ ∈ D, f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂
• Biunivoca (o biiettiva o invertibile su R): se è sia suriettiva sia iniettiva, f : D → R, f(D) = R si dice che è biunivoca.

Funzione inversa

Se f(x) è biunivoca, allora si può definire una nuova funzione detta funzione inversa h : R → D tale che è l’unica soluzione di f(x) = y.

Se è iniettiva ma non suriettiva, è ben definita una funzione inversa di g, ^-1g(y) è l’unica soluzione di g(x) = y.

Il grafico della funzione inversa può essere disegnato in due modi:

• 1^° modo: { (y, x) ∈ RxR : f(y) = x }, in pratica inverto x e y.
• 2^° modo: { (x, y) ∈ RxR : y = f^-1(x) }.

Il grafico della funzione inversa si ricava da quello di f per simmetria rispetto alla bisettrice y = x.

Funzioni limitate

Una funzione è limitata superiormente se ∀ f : D → R, ∀ M ∈ R, f(x) ≤ M, x ∈ D. Ciò significa che l’insieme f(D) è limitato superiormente.