Numeri reali e approssimazioni

Gli insiemi numerici

Insieme N: insieme dei numeri naturali: (0,1,2,3,4,5,6,...), le cui operazioni interne possono essere l'addizione e la moltiplicazione, le uniche due che non possono formare numeri negativi.
Insieme Z: insieme dei numeri interi: (...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...), le cui operazioni interne possono essere l'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione, infatti sono ammessi numeri negativi (ricavati dalla sottrazione)
Insieme Q: insieme dei numeri razionali: (...,-3,...,-1/2,0,...,1,5/3,...), i numeri razionali possono essere rappresentati da frazioni con segno oppure sotto forma di numeri decimali, la cui parte decimale può essere finita o periodica. Le operazioni interne sono l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione (ad eccezione la divisione per 0 perchè priva di significato).
Insieme R: insieme dei numeri reali: (...-radice5,...-3,-1/2,0,1,2,pigreco,...), è costituito dall'unione dell'insieme dei numeri irrazionali (cioè dei numeri con segno la cui rappresentazione decimale è illimitata e non periodica) e dell'insieme dei numeri razionali. Le operazioni interne sono l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e la radice. Eccezioni: la divisione per 0 e la radice quadrata di numeri negativi.
Attenzione: si ricorda che sia in Q che in R le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle stesse proprietà. La proprietà che caratterizza l'insieme R, di cui però non gode Q è la completezza: per ogni coppia di classi contigue di numeri reali esiste un unico numero reale s, detto elemento separatore di A e B tale che: a minore o uguale s e s minore o uguale b, per ogni a appartenente ad A e ogni b appartenente a B.

Possiamo approssimare un numero reale in tre diversi modi:
per difetto o troncamento: si scrive la rappresentazione decimale del numero fino all'n-esima cifra decimale e si sopprimono tutte le cifre successive
per eccesso: si scrive la rappresentazione decimale del numero fino all'n-esima cifra decimale, aumentando l'n-esima cifra di uno
per arrotondamento: si approssima il numero arrestandosi all'n-esima cifra decimale, per difetto se la cifra seguente all'n-esima è minore di 5, per eccesso se è maggiore o uguale a 5.
Attenzione: le approssimazioni a meno di 10 alla meno 1, meno 2 e meno 3 si dicono anche a meno di un decimo, centesimo e millesimo, oppure alla prima, alla seconda o alla terza cifra decimale.

Appunti 1: insiemi numerici, numeri reali con rispettive proprietà, le approssimazioni.