Numeri reali e approssimazioni

In questo appunto approfondiremo, in maniera graduale, gli insiemi numerici. Giungeremo infine all'"ultimo gradino" che è quello dei numeri reali, evitando per ora di estendere il nostro ragionamento anche ai numeri immaginari.
Partiamo dagli insiemi più "piccoli" procedendo verso quelli più grandi.

L'insieme dei numeri naturali

Anche detto insieme , è composto dai numeri , le cui operazioni interne possono essere l'addizione e la moltiplicazione, le uniche due che non possono formare numeri negativi. Infatti, moltiplicando o sommando due numeri naturali, otteniamo sempre un numero naturale!

L'insieme dei numeri interi

Anche detto insieme , è l'insieme dei numeri interi: , le cui operazioni interne possono essere l'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione, infatti sono ammessi numeri negativi (ricavabili anche, ma non solo, dalla sottrazione).

L'insieme dei numeri razionali

Anche noto come insieme è l'insieme dei numeri razionali; i numeri razionali possono essere rappresentati da frazioni con segno oppure sotto forma di numeri decimali, la cui parte decimale può essere finita o periodica. Le operazioni interne sono l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione (ad eccezione la divisione per 0 perché priva di significato).
In altre parole fanno parte dei numeri razionali tutti e soli i numeri esprimibili nella forma , dove sono elementi dell'insieme .

L'insieme dei numeri reali

Fanno parte di questo insieme, anche noto come insieme tutti i numeri che possiamo "immaginare". Esso è costituito dall'unione dell'insieme dei numeri irrazionali (cioè dei numeri con segno la cui rappresentazione decimale è illimitata e non periodica) e dell'insieme dei numeri razionali, di cui abbiamo parlato prima. Le operazioni interne sono l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e la radice. L'unica eccezione è costituita dalla divisione per 0 e la radice quadrata di numeri negativi.
Attenzione: si ricorda che sia in che in le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle stesse proprietà. La proprietà che caratterizza l'insieme , di cui però non gode è la completezza: per ogni coppia di classi contigue di numeri reali esiste un unico numero reale , detto elemento separatore di e tale che: per ogni .
Possiamo approssimare un numero reale in tre diversi modi:

• per difetto o troncamento: si scrive la rappresentazione decimale del numero fino all'n-esima cifra decimale e si sopprimono tutte le cifre successive;
• per eccesso: si scrive la rappresentazione decimale del numero fino all'n-esima cifra decimale, aumentando l'n-esima cifra di uno;
• per arrotondamento: si approssima il numero arrestandosi all'n-esima cifra decimale, per difetto se la cifra seguente all'n-esima è minore di 5, per eccesso se è maggiore o uguale a 5.

Attenzione: le approssimazioni a meno di 10 alla meno 1, meno 2 e meno 3 si dicono anche a meno di un decimo, centesimo e millesimo, oppure alla prima, alla seconda o alla terza cifra decimale.