Equazioni e disequazioni goniometriche di secondo grado

Oggi impareremo a risolvere equazioni e disequazioni goniometriche di secondo grado, ovvero equazioni e disequazioni in cui compaiono seno al quadrato, coseno al quadrato o eventualmente combinazioni di questi due. Cominciamo subito a considerare un primo esempio, supponiamo che ci venga chiesto di risolvere:

Vedete che questa ha tutto l'aspetto di una specie di equazione di secondo grado, dove però non compare direttamente la variabile

ma compare la funzione

, vedete che c'è

,

e un numero.

Quindi, la cosa che potrebbe sembrarci la vita, è quella di chiamare

. Se faccio questo la nostra equazione di partenza si trasforma nell'equazione di secondo grado:

E questa è facile da risolvere, potete o cercare di fattorizzare o cercare direttamente la formula risolutiva in ogni caso uno conclude che le due soluzioni di quest'equazione sono:

E a questo punto capite che sarà sufficiente mettere al posto della

il

, visto che la nostra

non era altro che la funzione

. Quello che si ottiene sono due equazioni elementari, le cui soluzioni sono rispettivamente:

Vediamo invece come bisogna comportarci se ci assegno una disequazione di questo tipo. Quindi prendiamo la stessa, e supponiamo che ci chiedano quando è maggiore o uguale a

. Fondamentalmente uno fa la stessa cosa di prima:

Ribattezza il seno come

e va a vedere quando:

Questa è una disequazione di secondo grado e si risolve facilmente e uno trovo che la disequazione è verificata per i valori:

A questo punto non resta di ricordarsi chi era la nostra

.

La nostra

era la funzione

, quindi dovremo andare a vedere quando la funzione

, cioè quando sta sotto questa retta gialla lì, o almeno coincide con essa e vedete che l'unico punto che va bene è il punto

dove il seno vale proprio

; oppure dove la funzione

, quindi in termini di grafico, dove il grafico della funzione seno sta al disopra con la retta di equazione

.

Concludiamo che: