Calcolo della percentuale, formula diretta e inverse, lo sconto

In questo appunto di matematica si tratta del calcolo percentuale e della sua applicazione al calcolo dello sconto. Riprendiamo brevemente la definizione di proporzione e delle sue proprietà. Gli esempi esplicativi aiuteranno nella comprensione.

Proporzioni, definizioni e proprietà fondamentali

Si definisce rapporto il quoziente tra due numeri indicati in un certo ordine.
Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti, per scriverne una servono quattro termini, siano allora: a, b, A, B i nostri termini abbiamo:

che leggiamo a sta a b, come A sta a B.
Ricordando che l’operatore di divisione può essere rappresentato anche con la linea di frazione, la proporzione si può scrivere anche così:

Con i numeri abbiamo:

Oppure

In una proporzione i quattro termini assumono delle denominazioni in base alla posizione che occupano:

• Estremi: a, B
• Medi: b, A
• Antecedenti: a, A
• Conseguenti: b, B

Ricordiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni per la quale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, da questa si ottiene che se uno dei 4 termini è incognito lo si può ricavare applicando le seguenti regole:
Se è incognito il termine medio bisogna calcolare il prodotto degli estremi e dividerlo per il medio noto.
Se è incognito il termine estremo si calcola il prodotto dei medi e lo si divide per l'estremo noto.

Proprietà del comporre e dello scomporre

Unitamente alla proprietà fondamentale ci sono due proprietà molto utilizzate in economia e sono la proprietà del comporre e la proprietà dello scomporre rivediamo le loro definizioni.
Proprietà del comporre: In una proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo oppure al secondo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo o al quarto.
Proprietà dello scomporre: In una proporzione la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo o al secondo termine come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo o al quarto.
Applicando la proprietà fondamentale è possibile ricavare uno dei quattro termini incogniti conoscendo gli altri tre.
La proprietà del comporre viene utilizzata per risolvere i problemi sopra 100, quando si vuole determinare direttamente una somma aumentata di una certa percentuale.
La proprietà dello scomporre viene utilizzata per i risolvere i problemi sotto 100, quando si vuole determinare direttamente una somma diminuita di una certa percentuale.
Le due proprietà si applicano anche nei problemi di calcolo sopra 100 e sotto 100 di tipo inverso.
Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle proporzioni vedi qua

Frazioni con denominatore 100

Il calcolo percentuale comprende una serie di operazioni con le quali si devono determinare le grandezze con riferimento a 100.
Questi calcoli vengono applicati a grandezze che variano in modo proporzionale; si risolvono impostando la seguente proporzione fondamentale in cui i simboli hanno il significato indicato:

• r: è detto ragione o tasso o aliquota percentuale;
• S: è la somma su cui si calcola la percentuale
• P è il valore percentuale totale

.
Il rapporto percentuale è una frazione con denominatore uguale a 100.
Ad esempio se gli allievi di una scuola sono complessivamente 840 e quelli che utilizzano il trasporto pubblico sono 630, volendo calcolare il grado di pendolarismo che caratterizza gli studenti di quella scuola dobbiamo semplicemente fare il rapporto tra 630 e 840.

Questo rapporto vale 0,75 se lo moltiplichiamo per 100 possiamo dire che il 75% degli studenti utilizza i mezzi pubblici.
Numerosi problemi commerciali e finanziari si risolvono applicando le regole fondamentali del calcolo proporzionale.
Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni con le frazioni vedi qua

Calcolo della percentuale

Nella pratica quotidiana è assai frequente che molti fenomeni commerciali, bancari, finanziari, sono espressi riferendone l’intensità a 100 unità di una certa grandezza. Per esempio, se acquistando una certa partita di merce si ottiene uno sconto di 5€ ogni 100€ di costo, si dice che lo sconto e il 5 per cento del costo, entità che rappresenta una percentuale e si scrive: 5%
Diamo la definizione: una percentuale esprime quante unità di una determinata grandezza corrispondono a 100 unità di un’altra grandezza e, perciò, è un rapporto con denominatore 100, che viene chiamato ragione percentuale o tasso.
Il calcolo percentuale coinvolge sempre due grandezze che sono legate tra loro da una relazione di proporzionalità diretta.

Cosa significa?
Lo sconto di 5€ su 100€ diventa di 10€ su 200€, e di 15€ su 300 € e così via.
Si riconduce all’impostazione di opportune proporzioni nelle quali il primo rapporto esprime il problema in termini percentuali cioè con riferimento alla base 100; Il secondo rapporto esprime il problema con riferimento ai valori globali. Utilizzando la proporzione fondamentale:

Conoscendo due dei tre termini r, S e P, è possibile ricavare immediatamente quello incognito.
Quando si cerca il percento totale (P), si sta risolvendo un (b]problema diretto di calcolo percentuale; quando invece si deve determinare la ragione (r), oppure la quantità originaria o base (S), si sta risolvendo un problema inverso.
La proporzione fondamentale permette di ricavare le seguenti formule.
Per ricavare il percento totale si Moltiplica la ragione per base e poi si divide per 100:

Per calcolare la ragione si moltiplica il percento totale (P) per il fattore 100 e si divide per la base (S):

Per calcolare la base S, si moltiplica P per 100 e si divide per la ragione r:

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo delle proporzioni vedi qua

Come calcolare lo sconto applicato al prezzo di un bene

La percentuale viene utilizzata per indicare sia un aumento che una diminuzione di una certa grandezza punto in periodo di saldi le vetrine dei negozi si riempiono di percentuali punto sono gli sconti praticati sui prodotti invenduti nella stagione. Lo sconto sul prezzo rappresenta una riduzione del prezzo originario e per trovarlo bisogna moltiplicare la percentuale di sconto per il prezzo iniziale. Per calcolare il prezzo scontato bisogna sottrarre al prezzo iniziale lo sconto applicato.
Svolgiamo un problema tipico.
Un paio di scarpe viene venduto con il 30% di sconto, sapendo che il prezzo di listino è di 180 €, a che prezzo si possono comprare le scarpe scontate? Che importo è stato risparmiato?
Individuiamo tutti i termini della proporzione fondamentale del calcolo percentuale:

Il termine incognito è P, utilizziamo la formula vista sopra:

Per calcolare P dividiamo S per 100 e poi moltiplichiamo per il tasso r:

Lo sconto sul paio di scarpe ammonta a 54€ che è il nostro risparmio.
Il prezzo finale è dato dalla differenza tra il prezzo iniziale e lo sconto:

Con uno sconto del 30% paghiamo le scarpe 126€.
In economia aziendale esistono diverse di forme di sconto tra cui:

• sconto bancario
• sconto di cambiali