Una moneta e un dado non truccati vengono lanciati ripetutamente.
Qual è la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6?
Definiamo due variabili aleatorie
[math]X = \text{numero del lancio in cui la moneta dà testa per la prima volta}[/math]
[math]Y = \text{numero del lancio in cui il dado dà sei per la prima volta}[/math]
Le due variabili aleatorie seguono queste densità di probabilità :
[math]p_X(h)=\begin{cases} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{h-1} & \text{se } h=1, 2, 3, \ldots \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}[/math]
[math]p_Y(k)=\begin{cases} \frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{k-1} & \text{se } k=1, 2, 3, \ldots \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}[/math]
Il lancio del dado e della moneta sono eventi indipendenti, quindi anche
[math]X[/math]
e [math]Y[/math]
sono variabili aleatorie indipendenti, pertanto al densità di probabilità congiunta vale
[math]p_{X,Y}(h,k)=\begin{cases} (\frac{1}{2})^h\frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{k-1} & \text{se } h,k=1, 2, 3, \ldots \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}[/math]
Calcolare la probabilità richiesta equivale a calcolare
[math]P(X (1)
dove
[math]A = {(i,j) \in \mathbb{N}^{2}: i. La (1) si può scrivere come
[math]\sum_{j=1}^{+\infty} \sum_{i=1}^{j-1} (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{j-1} (\frac{1}{2})^{i} = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^{+\infty} (\frac{5}{6})^{j-1} \sum_{i=1}^{j-1} (\frac{1}{2})^{i}[/math]
(2)
Ricordando che
[math]\sum_{k=1}^{N} q^{k} = \frac{1 - q^{N+1}}{1 - q} - 1[/math]
la (2) diventa
[math]\frac{1}{6} \sum_{j=1}^{+\infty} (\frac{5}{6})^{j - 1} [\frac{1 - (\frac{1}{2})^j}{1 - \frac{1}{2}} - 1] = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^{+\infty} (\frac{5}{6})^{j-1} (2 - (\frac{1}{2})^{j-1} - 1) = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^{+\infty}[(\frac{5}{6})^{j-1} - (\frac{5}{12})^{j-1}][/math]
(3)
Ponendo
[math]j - 1 = m[/math]
la (3) diventa
[math]\frac{1}{6} \sum_{m=0}^{+\infty} [(\frac{5}{6})^{m} - (\frac{5}{12})^{m}][/math]
(4)
Osservando che
[math]\sum_{k=0}^{+\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}[/math]
se [math]|q|
ed osservando che
[math]\sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{6})^m[/math]
e [math]\sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{12})^m[/math]
sono entrambe convergenti, la (4) equivale a
[math]\frac{1}{6} [\sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{6})^m - \sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{12})^m] = \frac{1}{6}(\frac{1}{1 - \frac{5}{6}} - \frac{1}{1 - \frac{5}{12}}) = \frac{1}{6} (6 - \frac{12}{7}) = \frac{1}{6} \frac{30}{7} = \frac{5}{7}[/math]
Pertanto, la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6 è
[math]\frac{5}{7}[/math]
.
FINE
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